luoguP4279 [SHOI2008]小约翰的游戏 Anti-SG 博弈论

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这就是一个Anti SG问题

当整个游戏的\(sg = 0\)时，如果不存在单一游戏局面\(sg > 1\)，那么先手必胜

当整个游戏的\(sg \neq 0\)时，如果至少存在一个单一游戏局面\(sg > 1\)，那么先手必胜

简略的证一下QAQ

首先证\(N\)至少有一个后继是\(P\)

• 整个游戏的\(sg = 0\)，不存在单一游戏局面\(sg > 1\)

一定有偶数个\(1\)，显然先手必胜

• 整个游戏的\(sg \neq 0\)，至少存在一个单一游戏局面\(sg > 1\)

类似\(Nim\)游戏，先手一定可以选出一堆石头使得\(sg = 0\)

然后是\(P\)的后继全部都是\(N\)

• 整个游戏的\(sg \neq 0\)，不存在单一游戏局面\(sg > 1\)

一定有奇数个\(1\)，显然先手必败

• 整个游戏的\(sg = 0\)，至少存在一个单一游戏局面\(sg > 1\)

由于\(sg = 0\)，因此一定存在两个以上的单一游戏局面\(sg > 1\)

此时，不论先手怎么取，后继状态的\(sg\)不可能等于\(0\)，并且至少存在一个单一游戏局面\(sg > 1\)

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define ri register int
#define rep(io, st, ed) for(ri io = st; io <= ed; io ++)
#define drep(io, ed, st) for(ri io = ed; io >= st; io --)

#define gc getchar
inline int read() {
    int p = 0, w = 1; char c = gc();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') w = -1; c = gc(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') p = p * 10 + c - '0', c = gc();
    return p * w;
}

int a[50050];

int main() {
    int T = read();
    while(T --) {
        int n = read();
        rep(i, 1, n) a[i] = read();
        int flag = 0, sg = 0, win;
        rep(i, 1, n) flag += (a[i] > 1), sg ^= a[i];
        if(!flag && sg == 0) win = 1;
        else if(flag && sg != 0) win = 1;
        else win = 0;
        if(win == 1) printf("John\n");
        else printf("Brother\n");
    }
    return 0;
}