最多约数问题

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问题

• 最多约数问题：正整数x的约数是能整除x的正整数。正整数x 的约数个数记为div(x)。例如，1，2，5，10 都是正整数10 的约数，且div(10)=4。设a 和b 是2 个正整数，a≤b，找出a和b之间约数个数最多的数x及其最多约数个数。

方法

• 枚举法：枚举区间（a, b）内的所有整数，统计他们的约数个数，找出约数最多的整数。
• 质因子法：取出区间(a,b)内的所有整数，判断是否能被以此增长的素数整除，若能被整除则该素数进行指数增长判断是否能被整除直至素数的指数倍大于该整数，记录指数大小，若此时已得到该整数，则利用公式正整数x的质因子分解为：x＝p1^N1 × p2^N2 ×……pi^Ni，则div（x）＝(N1＋1)(N2＋1)……(Ni＋1)求得约数个数，否则继续验证素数。

代码

• 枚举法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h> 
int main()
{      
  int i=1,j=0,k=1,a,b,max=0,m=0,count[100]={0};   	  
  scanf("%d %d",&a,&b);    
  for(;i<b-a;i++)//循环依次找出在（a,b）区间的整数   
  {  
     for(j=0,k=1;k<=a+i;k++)//从一开始遍历	
     {   
         if((a+i)%k==0)                
         j++;}//若k能整除此整数，则约数个数加一        
     count[i]=j;        
     if(j>=max) //找出最多约数个数        
     {  
        max=j;            
        m=i;} //将当前有最大约数个数的整数赋给m    
  }    
  for(i=0;i<b-a;i++)     
  {        
     if(count[i]==max)             
     printf("%d %d\n",a+i,max);    
  }
 }

• 质因子法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main()
{    
   int i=1,m=1,s=1,a,b,t=0,j=0,k=0,max=0,c[100]={0};    
   scanf("%d %d",&a,&b);    
   for(;i<b-a;i++)//循环依次找出在（a,b）区间的整数    
   {        
       t=a+i;        
       for(j=2;j<=t;j++)//枚举不大于该整数的所有素数       
       {            
           if(t%j==0)//若t能被j整除            
           {                
               for(k=2;pow(j,k)<=t;k++)                
               {                    
                   if(t%(int)(pow(j,k))==0)//判断j的k次方是否能整除t                        
                   s=k;//将最大k值赋给s                
               }                
               m=m*(s+1);//利用公式求得当前约数个数               
               if(t==pow(j,s))                    
                   break;//若j的s次方等于t,跳出循环，判断下一个整数               
               else                    
                   t=t/pow(j,s);//若j的s次方不等于t，将t赋予新值                
               s=1;            
           }       
       }        
       c[i]=m;//将得到的约数个数m赋给c[i]        
       m=1;//将m置1        
       if(c[i]>=max)            
            max=c[i];//得到最大约数个数    
   }    
   for(i=1;i<b-a;i++)   
   {       
      if(c[i]==max)             
      printf("%d %d\n",a+i,max);
   }
}