[Jzoj] 3020. 最多的约数

题目大意

给定一个正整数 $N$，对于所有不超过 $N$的正整数，找到包含约数最多的一个数。如果有多个这样的数，那么回答最小的那个

题目解析

先给出一个定义：

若 $W$的质因数分解为：
$W=p_1$^a1 $*p_2$^a2 $*…*p_m$^am $(p_1…p_m为素数，a_1…a_m≥1)$
则 $W$有 $(a_1+1)(a_2+1)…(a_m+1)$个约数

所以，可以枚举因数中包含 $0$个 $2$、 $1$个 $2$ $…$ $k$个 $2$，直至 $m∗2^k$大于区间的上限 $N$

在这个基础上枚举 $3、5、7……$的情况，算出现在已经得到的 $m$的约数个数，
同时与原有的记录进行比较和替换。直至所有的情况都被判定过了

接着，给出如下例子：

$12=2^2∗3$
$18=3^2*2$

$12$和 $18$的质因数分解 $“$模式 $”$完全相同，所以它们的约数个数是相同的

但是由于 $12$的质因数分解中 $2$的指数大于 $3$的指数， $18$的质因数分解中 $3$的指数大于 $2$的指数，所以 $12<18$

所以，可以在枚举时进行一个优化，使得枚举到的数字中 $2$的指数不小于 $3$的指数， $3$的指数不小于 $5$的指数 $……$这样我们就能够得到质因数分解 $“$模式 $”$相同的最小数

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
using namespace std;
L n,pi,ans,num;
int p[10005];
bool flag[1000010];
void fun()
{
	for(int i=2;i<=1000000;i++)
	 if(!flag[i])
	 {
	   p[++pi]=i;
	   for(int j=2;j<=1000000/i;j++)
	    flag[j*i]=1;
	 }
}
void dfs(L x,int lev,int t,int s)
{
	if(t>num||(t==num&&x<ans)) ans=x,num=t;
	int j=0,l=1,q;
	L i=x;
	while(j<s)
	{
	  j++,l++;
	  if(n/i<p[lev]) break;
	  q=t*l;
	  i*=p[lev];
	  if(i<=n) dfs(i,lev+1,q,j);
	}
}
int main()
{
	fun();
	cin>>n;
	dfs(1,1,1,30);
	cout<<ans;
}