题目1:求两个正整数的最大公约数;(Greatest Common Divisor, GCD)
题目2:求n个正整数的最大公约数;
题目3:求两个正整数的最小公倍数;(Lowest Common Multiple, LCM)
题目4:求n个正整数的最小公倍数。
之所以将这四个问题写在一起,是因为它们的核心都为第一个问题:求两个数的最大公约数GCD。剩余三个问题都是基于它来写的。而计算最大公约数的方法有两个,这里介绍第一个:辗转相除法。
辗转相除法:取两个数中较大的数作被除数,较小的数作除数,用大数除以小数,如果余数为0,则较小数为这两个数的最大公约数;如果余数不为0,用较小数除以上一步计算出的余数,直到余数为0,则这两个数的最大公约数为上一步的余数。
即对于两个数a,b (设a>b), 若a%b=0, 则gcd(a,b)=b; 否则gcd(a,b)=gcd(b,a%b). 证明过程很简单,此处略。
//两个数的最大公约数 int GCD(int a, int b) { return b == 0 ? a : GCD(b, a%b); }
对于多个数的最大公约数,依次调用上面的GCD函数即可。
//n个数的最大公约数 int GCD(vector<int>& g) { int ans = g[0]; for (int i = 1; i < g.size(); i++) ans = GCD(ans, g[i]); return ans; }
两个数的最小公倍数的计算是基于最大公约数的,因为对于任意两个正整数,它们的最大公约数与最小公倍数的积等于它们俩本身的积。即 a*b=lcm(a,b)*gcd(a,b).
//两个数的最小公倍数 int LCM(int a, int b) { return a * b / GCD(a, b); }
多个数的最小公倍数仍然是依次调用LCM函数即可。
//n个数的最小公倍数 int LCM(vector<int>& g) { int ans = g[0]; for (int i = 1; i < g.size(); i++) ans = LCM(ans, g[i]); return ans; }