程序员面试一百题-16-O(logn)求Fibonacci数列

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1-题目 :
O(logⁿ)求Fibonacci数列。

2-思路 :
定义 : [f(n), f(n-1); f(n-1), f(n-2) = [1, 1; 1, 0]^n-1
有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵[1, 1; 1,0]的n-1次方，因为结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。
现在的问题转换为求矩阵[1, 1; 1,0]的乘方。考虑到乘方的性质 :
aⁿ = a^n/2 * a^n/2 (n为偶数)
aⁿ = a^(n-1)/2 * a^(n-1)/2 (n为奇数)
要得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路称之为分治法。这样求n次方就只需要logⁿ次运算了。

3-代码 :

#include<assert>

//矩阵的数据结构
struct Matrix2By2
{
    //默认的矩阵值
    Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, 
        long long m10 = 0, long long m11 = 0) : m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {}
    
    long long m_00;
    long long m_01;
    long long m_10;
    long long m_11;
};

//矩阵的乘法
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2 &matrix1, const Matrix2By2 &matrix2)
{
    return Matrix2By2(
        matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

//矩阵的n次方
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
    assert(n > 0);
    Matrix2By2 matrix;

    //n=1时直接返回
    if (n == 1)
    {
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    }
    //n为偶数时
    else if (n % 2 == 0)
    {
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    //n为奇数时
    else if (n % 2 == 1)
    {
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }

    return matrix;
}

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    //初始值f(0)和f(1)
    int result[2] = {0, 1};
    if (n < 2)
    {
        return result[n];
    }
        
    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    //第一行第一列便为f(n)
    return PowerNMinus2.m_00;
}