第二章 链表问题
2.6 环形单链表的约瑟夫环问题
【题目】
请用单向循环链表描述约瑟夫问题。
- 输入：一个环形单向链表的头节点 head 和报数的值 m。
- 输出：最后生存下来的节点，且这个节点自己组成环形单向链表，其它节点都删掉。
进阶： 如果链表节点数为 N，在时间复杂度为 O(N) 内完成原问题要求。
【难度】
原问题：
士 ★☆☆☆
进阶：
校 ★★★☆
【题解】
普通的解法描述如下：
- 如果链表为空或者链表节点数为 1，或者 m 的值小于 1，则不用调整；
- 在环形链表中遍历每个节点，不断转圈，让每个节点报数；
- 当报树达到 m 时，就删除当前报数的节点；
- 删除节点后，把剩下的节点继续连成环状，继续转圈报数，删除节点；
- 不断地删除节点直到环形链表中只剩下一个节点，过程结束。
对于普通的解法，每删除一个节点，都需要遍历 m 次，一共需要删除的节点数是 N-1 个。所以普通解法的时间复杂度是 O(n×m)，这达不到进阶的要求。
进阶的解法描述如下：
- 如果环形链表的节点数为 n，做如下定义：从这个环形链表的头节点开始编号，头节点编号为 1，往后依次是 2、3、…、n。
- 最后只剩下一个节点，这个节点在只由自己组成的环中编号为 1，记为 Num(1)=1；
- 在由两个节点组成的环中，假设最后剩下的节点编号为 Num(2)；
… …
- 在由 i-1 个节点组成的环中，假设最后剩下的节点编号为 Num(i-1)；
- 在由 i 个节点组成的环中，假设最后剩下的节点编号为 Num(i)；
… …
- 在由 n 个节点组成的环中，假设最后剩下的节点编号为 Num(n)；
已知 Num(1)=1，确定 Num(i-1) 和 Num(i) 之间的关系，通过递归过程就可以求出 Num(n)。 Num(i-1) 和 Num(i) 之间的关系分析如下：
- 假设现在圈中一共有 i 个节点，从头节点开始报数，依次是 1、2、…、i-1、i、…。假设报 A 的是编号为 B 的节点，则 A 和 B 的关系可以写成：B=(A-1)%i+1，这个表达式不是唯一的。
- 如果编号为 s 的节点被删除，环的节点数从 i 变成了 i-1。新的环只有 i-1 个节点，在编号为 s 的节点的前一个节点，就是编号 s-1 的节点，成了新环中的最后一个节点，也就是编号为 i-1 的节点。假设环大小为 i 的节点编号记为 old，环大小为 i-1 的每个节点编号记为 new，则 old 与 new 之间关系的数学表达式为：old=(new+s-1)%i+1，此表达式同样不唯一。
- 因为每次都是报数到 m 的节点被删除，所以根据步骤 1 的表达式 B=(A-1)%i+1，A=m。被删节点的编号为 (m-1)%i+1，即 s=(m-1)%i+1，代入步骤 2 的表达式 old=(new+s-1)%i+1 中，化简得 old=(new+m-1)%i+1。这就是 Num(i-1) 和 Num(i) 的关系，其只与 m 和 i 有关。
总结如下：
- 遍历链表，求链表的节点个数记为 n，时间复杂度wei O(N)；
- 根据 n 和 m 的值，还有 Num(i-1) 和 Num(i) 的关系，递归求最终剩下节点的编号。这一过程递归为 N 层，时间复杂度为 O(N)；
- 最后根据最终剩下节点的编号，遍历链表找到该节点，，时间复杂度为 O(N)；
- 整个过程结束，总的时间复杂度为 O(N)。
【实现】
