【文文殿下】网络流学习笔记

最大流算法

Dinic

割

一个网络的割：存在一个边集，删去集合里的边时，S-T不再连通

最小割

所有割中边权之和最小的

最小割-最大流定理

最小割等于最大流

二分图匹配

\(M\)为边集\(E\)的一个子集，如果对于任何一个点，都最多被\(M\)中一条边覆盖，则成\(M\)为一个匹配。

最大匹配

使\(|M|\)最大的一个匹配（可能有多个）

最大匹配求法

源点S向所有X连边，Y向T连边，容量均为1,原始图上边容量均为1，最大流=最大匹配。

二分图最小顶点覆盖

\(V'\)是点集\(V\)的一个子集，对于任意一条边，至少有一端在\(V'\)内。

最小的一个\(V'\)被称作最小顶点覆盖

最大匹配=最小顶点覆盖

证明：若有一条边未覆盖，则匹配+1，与最大匹配矛盾

二分图最大独立集

\(V'\)是\(G\)的一个独立集，当且仅当对于任何一条边，它至少有一端不在\(V'\)内

最大独立集大小等于\(|V|-\)最大匹配

证明：最小割。若(S,x)为割边，则在\(V'\)中删去x。y同理。

有向图最小路径覆盖

用尽可能少的简单路径覆盖整张图。特殊的：一个点也是一条简单路径。

二分图建模：把每个点\(x\)拆成\(x_1,x_2\),分别属于X,Y.

对原图一条边，(x,y),链接(\(x_1,y_2\))

易证：最小路径覆盖=\(|V|-\)最大匹配。

X中未被匹配的点是每条路径的起点

二分图点权最大独立集

最大权独立集=\(\sum value(x) -\)最小权顶点覆盖

最小权覆盖=最大匹配=最小割=最大流(原图的边流量为无穷大)

建图：S向所有X连边，容量为value(x),所有的Y向T连边，容量为value(y) ，原图中的边容量为无穷大

最大权闭合子图

\(U\)是\(G\)的一个子图，x属于\(U\) 当且仅当对于任何一条边(x,y)，y也属于\(U\),那么\(U\)是\(G\)的一个闭合子图

权值和最大的闭合子图称为最大权闭合子图(权值有正有负)

求法：建立源点S,向所有x(value(x)>0)连边，容量为value(x),建立汇点T,所有y(value(y)<0)向T连边，容量为-value(y),对于原图中的边(x,y)，在x,y之间连一条容量为无穷大的边。

最大权闭合子图=\(\sum_{value(x)>0} value(x) -\) 最小割

证明：

若选了一个点x,则他的后继一定会选(最大流)，满足闭合子图。

若一个(S,x)为割边，说明(S,x)满流，则选了x,他的后继付出的代价一定不小于x的权值，即x的贡献小于等于0

有节点容量的最大流

建图：对于每一个点x拆成两个点\(x_1,x_2\)，对于所有入边，链接\(x_1\)出边从\(x_2\)出，\(x_1,x_2\)之间链接一条容量为节点容量的边

上下界网络流

每条边有流量上界和流量下界

建图：先建新源点S1,新汇点T1,对于一条边(x,y) ，从x到y连一条\(c(e)-l(e)\)的边，从S1向y连一条\(l(e)\)的边，从x向T1连一条\(l(e)\)的边。

建一条从T到S容量为k的边。

存在可行流：从S1出发的所有边都满流。

最小流：二分K,存在可行流，最小的K即为最小流

最大流：先跑可行流。跑完以后，把自己加入的必要弧删去，再恢复源汇，尝试增广S-T

费用流

算法：ZKW费用流