7-14 最小生成树的唯一性（30 分）生成树综合练习题

题目描述:

7-14 最小生成树的唯一性（30 分）

给定一个带权无向图，如果是连通图，则至少存在一棵最小生成树，有时最小生成树并不唯一。本题就要求你计算最小生成树的总权重，并且判断其是否唯一。

输入格式：

首先第一行给出两个整数：无向图中顶点数 $N$ （ $\leq 500$ ）和边数 $M$ 。随后 $M$ 行，每行给出一条边的两个端点和权重，格式为“顶点1 顶点2 权重”，其中顶点从 1 到 $N$ 编号，权重为正整数。题目保证最小生成树的总权重不会超过 $2^{ 30 }$ 。

输出格式：

如果存在最小生成树，首先在第一行输出其总权重，第二行输出“Yes”，如果此树唯一，否则输出“No”。如果树不存在，则首先在第一行输出“No MST”，第二行输出图的连通集个数。

输入样例 1：

输出样例 1：

11
Yes

输入样例 2：

输出样例 2：

4
No

输入样例 3：

输出样例 3：

No MST
2

赛后分析：比赛的时候根本没有看这道题，因为一想到自己生成树都忘记怎么写了就直接扔了这道题，后来补题的时候发现，这算是一道比较综合的生成树的题目了，应该学习一下

题目分析：求最小生成树，并判断是不是唯一的，可以直接先求出次小生成树，看看相不相等，如果相等，那么最小生成树肯定不唯一啊，同时这道题还要判断存不存在最小生成树，用并查集即可判断。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 510;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int N, M;
bool vis[maxn];              //求最小生成树的时候用来标记是不是已经走过
bool used[maxn][maxn];       //求次小生成树的时候用
int Map[maxn][maxn];         //储存任意两条边之间的关系
int dis[maxn];               //储存边的距离
int pre[maxn];               //储存之前的点
int MaxP[maxn][maxn];        //i 到 j 之间最大的距离
int f[maxn];                 //并查集求连通个数

int prim()                                    //prim算法求最小生成树
{
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        dis[i] = Map[i][1];
        pre[i] = 1;
    }
    dis[1] = 0;
    vis[1] = true;
    int ans = 0;

    for(int i = 1; i < N; i++){
        int temp = INF, pos;
        for(int j = 1; j <= N; j++){
            if(!vis[j] && temp > dis[j]){
                temp = dis[j], pos = j;
            }
        }
        if(temp == INF)
            return -1;
        used[pre[pos]][pos] = used[pos][pre[pos]] = true;
        ans += dis[pos];
        vis[pos] = true;
        for(int j = 1; j <= N; j++){
            if(vis[j] && j != pos)
                MaxP[pos][j] = MaxP[j][pos] = max(MaxP[j][pre[pos]], dis[pos]);
            if(!vis[j]){
                if(dis[j] > Map[pos][j]) {
                    dis[j] = Map[pos][j];
                    pre[j] = pos;
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}

void init()
{
    for(int i = 1; i <= N; i++)   //并查集的初始化
        f[i] = i;
    memset(Map, 0x3f, sizeof(Map));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(MaxP, 0, sizeof(MaxP));
    return ;
}
int Find(int x)
{
    if(x == f[x])
        return x;
    else
        return f[x] = Find(f[x]);
}

void unit(int a, int b)
{
    int fa = Find(a);
    int fb = Find(b);
    if(fa == fb)
        return ;
    else {
        if(fa < fb) f[fb] = fa;
        else        f[fa] = fb;
    }
    return ;
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &N, &M);
    init();
    while(M--){
        int v1, v2, w;
        scanf("%d %d %d", &v1, &v2, &w);
        unit(v1, v2);
        Map[v1][v2] = Map[v2][v1] = w;
    }
    int x = prim();
    if(x == -1){              //如果不连通
        cout << "No MST" << endl;
        int sum = 0;
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            if(i == Find(i)) sum++;}
        cout << sum << endl;
    }
    else {
        cout << x << endl;
        int ans = INF;
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 1; j <= N; j++){
                if(i != j && !used[i][j])
                    ans = min(ans, x+Map[i][j]-MaxP[i][j]);
            }
        }
        if(ans == x) cout << "No" << endl;
        else cout << "Yes" << endl;
    }
    return 0;
}