《概率机器人》学习笔记之课后习题二

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1. 设
   $X_n = \begin{cases} 0 & 传感器故障\\ 1 & 传感器正常 \end{cases}$
   根据条件，初始时机器人的状态概率如下：
   $\begin{aligned} P(X_0 = 0)&=p&=0.01\\ P(X_0 = 1)&=1-p&=0.99 \end{aligned}$
   设观测到测距值＜1的事件为:
   $Z_n=z_n \in[0,1]$

根据式2.16:
$p(x|y,z)=\frac{p(y|x,z)p(x|z)}{p(y|z)}$
则可计算在 $Z_n$发生的情况下， $X_{n}=0$的概率模型是：
$\begin{aligned} P(X_n=0|z_{1:n})&=\eta P(z_n|X_t=0,z_{1:n-1})\times P(X_n=0|z_{1:n-1}) & 1\\ &=\eta P(z_n|X_t=0,z_{1:n-1}) \times P(X_{n-1}=0 | z_{1:n-1}) &2\\ &=\eta\times1\times P(X_{n-1}=0|z_{1:n-1}) &3\\ &=\eta P(X_0=0)&4\\ &=\eta p &5 \end{aligned}$
其中因为只有n-1观测事件， $X_n$到 $X_{n-1}$的状态没有改变，所以:
$P(X_n=0|z_{1:n-1}) = P(X_{n-1}=0 | z_{1:n-1})$
2式中因为 $P(z_n|X_t=0,z_{1:n-1})$中在传感器是有故障的情况下，观测值总是小于1m，所以此处概率为1。
3式经过递归，最终得到4式。
接下来计算在 $Z_n$发生的情况下， $X_n=1$的概率模型是：
$\begin{aligned} P(X_n=1|z_{1:n}) &= \eta P(z_n|X_t=1,z_{1:n-1}) \times P(X_n=1|z_{1:n-1})\\ &= \eta P(z_n|X_t=1,z_{1:n-1}) \times P(X_{n-1}|z_{1:n-1}) \\ &= \eta \times \frac{1}{3} \times P(X_{n-1}|z_{1:n-1}) \\ &= \eta \times \frac{1}{3^n} \times P(X_0=1) \\ &=\eta \times \frac{1}{3^n} \times (1-p) \end{aligned}$

现在来计算归一化因子，易得：
$\eta (p + \frac{1-p}{3^n}) = 1\\ \eta = \frac{1}{p+\frac{1}{3^n}(1-p)}$
所以最终求得概率模型为：
$\begin{aligned} P(Xn=0|z_{1:n})=\frac{p}{p+\frac{1}{3^n}(1-p)} \end{aligned}$