概率机器人第二章课后习题 第一题

1. 机器人使用一个可以测量0~3m距离的传感器。为了简化，假定真实的距离在这个范围中均匀分布。很不幸的是，传感器会坏掉。当传感器故障时，不管传感器的锥形测量范围内实际测距结果应该是多少，其输出测距值均小于1m，已知对于传感器故障的先验概率是$p=0.01$。
   设想机器人查询了N次传感器，每次测量值都小于1m。对于$N=1,2,...,10$的传感器故障后的验概率是多少？用公式表示相关的概率模型。

解：
用$X$表示传感器的状态，$X=0$表示传感器故障，$X=1$表示传感器没有故障。且$P(X_0=1)=0.99$,$P(X_0=0)=0.01$。
用$Z$表示传感器的测距值，$P(Z<1|X_0=0) = 1$,$P(Z<1|X_0=1)=\frac{1}{3}$。
传感器的故障的后验概率可以表示为，

$$P(X=0|Z<1)= \frac{P(Z<1|X=0)P(X=0)}{P(Z<1)}\\ =\frac{P(Z<1|X=0)P(X=0)}{P(Z<1|X=0)P(X=0)+P(Z<1|X=1)P(X=1)}$$

当$N=1$的时候，传感器故障的后验概率为：

$$P(X_1=0|Z<1)= \frac{P(Z<1|X_0=0)P(X_0=0)}{P(Z<1)}\\ =\frac{P(Z<1|X_0=0)P(X_0=0)}{P(Z<1|X_0=0)P(X_0=0)+P(Z<1|X_0=1)P(X_0=1)}\\ =\frac{1\times 0.01}{1\times0.01+\frac{1}{3}\times 0.99}=\frac{1}{34} \approx 0.029$$
此时传感器故障的概率分别为: $P(X_1=0|Z<1)=0.029$ , $P(X_1=1|Z<1)=0.971$
当 $N=2$的时候，传感器故障的后验概率为：

$$P(X_2=0|Z<1)= \frac{P(Z<1|X_1=0)P(X_1=0)}{P(Z<1)}\\ =\frac{P(Z<1|X_1=0)P(X_1=0)}{P(Z<1|X_1=0)P(X_1=0)+P(Z<1|X_1=1)P(X_1=1)}\\ =\frac{1\times 0.029}{1\times0.029+\frac{1}{3}\times 0.971} \approx 0.352$$
此时传感器故障的概率分别为: $P(X_2=0|Z<1)=0.352$ , $P(X_2=1|Z<1)=0.648$
以此类推：
当 $N=3$的时候，传感器故障的后验概率为： $P(X_3=0|Z<1)=0.619$ , $P(X_3=1|Z<1)=0.381$
当 $N=4$的时候，传感器故障的后验概率为： $P(X_4=0|Z<1)=0.829$ , $P(X_4=1|Z<1)=0.171$
当 $N=5$的时候，传感器故障的后验概率为： $P(X_5=0|Z<1)=0.935$ , $P(X_5=1|Z<1)=0.065$
当 $N=6$的时候，传感器故障的后验概率为： $P(X_6=0|Z<1)=0.977$ , $P(X_6=1|Z<1)=0.023$
当 $N=7$的时候，传感器故障的后验概率为： $P(X_7=0|Z<1)=0.992$ , $P(X_7=1|Z<1)=0.008$
当 $N=8$的时候，传感器故障的后验概率为： $P(X_8=0|Z<1)=0.997$ , $P(X_8=1|Z<1)=0.003$
当 $N=9$的时候，传感器故障的后验概率为： $P(X_9=0|Z<1)=0.998$ , $P(X_9=1|Z<1)=0.002$
当 $N=10$的时候，传感器故障的后验概率为： $P(X_{10}=0|Z<1)=0.999$ , $P(X_{10}=1|Z<1)=0.001$