傅里叶变换是我们最早开始接触的时频域变换方法，虽然经常使用，知道怎么用纸笔计算，但是还从来没有在电脑中模拟过，正好现在开始学习数字信号处理，借着这个机会再学习如何在电脑上模拟傅里叶变换。
以下大部分内容来自Digital Signal Processing Using Matlab和数字信号处理教程 程佩青
此次选择的软件平台为Matlab。
由于Matlab无法处理无限长序列，所以需要处理的信号必须是有限长的。
连续时间傅里叶变换
傅里叶变换的公式为：
为了在计算机中模拟傅里叶变换，我们将积分变为求和的方式，上下限也从正无穷到负无穷变为一段长度M，dt需要尽可能小
在Matlab中，函数的自变量因变量的集合都是使用矩阵来存储的，从矩阵的角度来看傅里叶变换的公式如下：
角频率向量定义为
时间向量定义为
因此矩阵指数可写为
整个傅里叶变换可写为
Xa = xa * exp(-1j*t'*W) * Dt;
具体实现
其实下面这个例子是Digital Signal Processing Using Matlab中的，来自P64页，不过想到都看到这里了还要读者翻书不太好，就一起放上来了。
定义
先进行数学上的分析，
MATLAB实现如下：
% Analog Signal
Dt = 0.00005;
t = -0.005:Dt:0.005;
xa = exp(-1000*abs(t));
% Continuous-time Fourier Transform
Wmax = 2*pi*2000;
K = 500;
k = 0:1:K;
W = k*Wmax/K;
Xa = xa * exp(-1j*t'*W) * Dt;
Xa = abs(Xa);
W = [-fliplr(W), W(2:501)];
Xa = [fliplr(Xa), Xa(2:501)];
subplot(2,1,1);
plot(t*1000,xa);
xlabel('t in msec.');
ylabel('xa(t)');
title('Analog Signal');
subplot(2,1,2);
plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);
xlabel('Frequency in KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000');
title('Continuous-time Fourier Transform');
运行效果如下：
如果想确认变换的正确性，可以在运行完上面这个脚本后，在命令行输入
plot(W/(2*pi*1000),(0.002./(1+(W./1000).^2))*1000);
xlabel('Frequency in KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000');
运行效果如下：
这时会发现，根据上面推导的变换公式直接plot出的图形和变换后得到的图形是一样的，这样可以确定变换的正确性。
存在问题
目前存在的问题是，对于复函数的变换结果不正确。我想了很多天都找不出问题所在，只能暂时放弃，等以后有机会再研究。
离散时间傅里叶变换
下面是对上一个例子中的模拟输入信号做离散化，然后再进行离散傅里叶变换。
为了体现Nyquist定理，将使用两种不同的采样频率
-
使用Fs=5000sam/sec采样来获得x1(n)
-
使用Fs=1000sam/sec采样来获得x2(n)
% Analog Signal
Dt = 0.00005;
t = -0.005:Dt:0.005;
xa = exp(-1000*abs(t));
% Discrete-time Signal
Ts = 0.0002;
n = -25:1:25;
x = exp(-1000*abs(n*Ts));
% Discrete-time Fourier transform
K = 500;
k = 0:1:K;
w = pi*k/K;
X = x*exp(-j*n'*w); X = real(X);
w = [-fliplr(w), w(2:K+1)];
X = [fliplr(X), X(2:K+1)];
subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t in msec.');
ylabel('x1(n)');
title('Discrete Signal');hold on;
stem(n*Ts*1000,real(x));gtext('Ts=0.2 msec');hold off;
subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);
xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X1(w)');
title('Discrete-time Fourier Transform');
Fs=5000sam/sec
xa(t)的频率为2KHz，因此它的Nyquist频率为4KHz，而它的采样频率为5KHz，所以是满足Nyquist采样定律的，此时不会发生混叠。
运行效果如下：
Fs=1000sam/sec
这里使用的采样频率为1KHz，不满足Nyquist条件，因此会发生混叠。观察一下就会发生，1KHz采样得到的序列的频域波形和前面的频域波形不同，这就是混叠导致的，而且过低的采样率采集的信号的变换的不可逆的。
运行效果如下：