梯度下降算法(1) - Python实现

• 算法介绍：
  梯度下降算法是一种利用一次导数信息求取目标函数极值的方法，也是目前应用最为广泛的局部优化算法之一。其具有实现简单、容易迁移、收敛速度较快的特征。在求解过程中，从预设的种子点开始，根据梯度信息逐步迭代更新，使得种子点逐渐向目标函数的极小值点移动，最终到达目标函数的极小值点。
  注意，沿梯度正向移动，将获取目标函数局部极大值（梯度上升算法）；沿梯度反向移动，将获取目标函数局部极小值（梯度下降算法）。
• 迭代公式：
  设向量$\vec g_k$表示目标函数在种子点$\vec x_k$处的梯度（即一次导数）。此时，根据梯度信息的指导，可以使得种子点更加接近该向量方向的极值点（注意，目标函数真实的极值点是全方向的）。
  求取极小值，沿梯度反方向移动（即梯度下降）：
  \begin{equation}\label{eq_1}
  \vec x_{k+1} = \vec x_k - {\lambda}_k \vec s_k
  \end{equation}
  求取极大值，沿梯度正方向移动（即梯度上升）：
  \begin{equation}\label{eq_2}
  \vec x_{k+1} = \vec x_k + {\lambda}_k \vec s_k
  \end{equation}
  其中，$\vec s_k = \frac{\vec g_k}{\left| \vec g_k \right|}$代表归一化梯度，${\lambda}_k$代表种子点沿梯度方向移动的步长幅度参数。
  很显然，对幅度参数${\lambda}_k$的设置也属于算法的一部分。最常见的有两种方法：1）线性搜寻法；2）可调步长法。
  线性搜寻法中，在种子点的梯度方向上搜寻到极值点附近的步长幅度参数${\lambda}_k$，然后移动种子点至该方向的极值点处。继续计算种子点新的梯度方向，并在该方向上移动。直到种子点到达全方向的极值点处，迭代即可终止。
  可调步长法中，通常先将${\lambda}_k$设为1。然后依据上面的迭代公式（式$\ref{eq_1}$或式$\ref{eq_2}$），预先计算下一步可能的$x_{k+1}$。如果$x_{k+1}$满足接近极值点的要求，则将种子点由$x_k$移至$x_{k+1}$，并增加${\lambda}_k$值为原先的$1.2$倍；否则，不移动种子点，并将${\lambda}_k$值减小为原先的$0.5$倍。如此反复迭代计算，逐步移动种子点并改变${\lambda}_k$值至找到极值点为止。由于${\lambda}_k$值随下一步的预计算情况逐步作出调整，因此笔者也将其称为动态调整技术。
  从节省计算资源的角度考虑，以下笔者将采用动态调整技术完成对梯度下降算法的示例，仅供参考！
• Python代码实现：
  
  

   1 import matplotlib.pyplot as plt
   2 import numpy
   3 
   4 
   5 class GD(object):
   6 
   7     def __init__(self, seed=None, precision=1.E-6):
   8         self.seed = GD.get_seed(seed)                    # 梯度下降算法的种子点
   9         self.prec = precision                            # 梯度下降算法的计算精度
  10 
  11         self.path = list()                               # 记录种子点的路径及相应的目标函数值
  12         self.solve()                                     # 求解主体
  13         self.display()                                   # 数据可视化展示
  14 
  15     def solve(self):
  16         x_curr = self.seed
  17         val_curr = GD.func(*x_curr)
  18         self.path.append((x_curr, val_curr))
  19 
  20         omega = 1
  21         while omega > self.prec:
  22             x_delta = omega * GD.get_grad(*x_curr)
  23             x_next = x_curr - x_delta                    # 沿梯度反向迭代
  24             val_next = GD.func(*x_next)
  25             
  26             if numpy.abs(val_next - val_curr) < self.prec:
  27                 break
  28 
  29             if val_next < val_curr:
  30                 x_curr = x_next
  31                 val_curr = val_next
  32                 omega *= 1.2
  33                 self.path.append((x_curr, val_curr))
  34             else:
  35                 omega *= 0.5
  36 
  37     def display(self):
  38         print('Iteration steps: {}'.format(len(self.path)))
  39         print('Seed: ({})'.format(', '.join(str(item) for item in self.path[0][0])))
  40         print('Solution: ({})'.format(', '.join(str(item) for item in self.path[-1][0])))
  41 
  42         fig = plt.figure(figsize=(10, 4))
  43 
  44         ax1 = plt.subplot(1, 2, 1)
  45         ax2 = plt.subplot(1, 2, 2)
  46 
  47         ax1.plot(numpy.array(range(len(self.path))) + 1, numpy.array(list(item[1] for item in self.path)), 'k.')
  48         ax1.plot(1, self.path[0][1], 'go', label='starting point')
  49         ax1.plot(len(self.path), self.path[-1][1], 'r*', label='solution')
  50         ax1.set(xlabel='$iterCnt$', ylabel='$iterVal$')
  51         ax1.legend()
  52 
  53         x = numpy.linspace(-100, 100, 500)
  54         y = numpy.linspace(-100, 100, 500)
  55         x, y = numpy.meshgrid(x, y)
  56         z = GD.func(x, y)
  57         ax2.contour(x, y, z, levels=36)
  58 
  59         x2 = numpy.array(list(item[0][0] for item in self.path))
  60         y2 = numpy.array(list(item[0][1] for item in self.path))
  61         ax2.plot(x2, y2, 'k--', linewidth=2)
  62         ax2.plot(x2[0], y2[0], 'go', label='starting point')
  63         ax2.plot(x2[-1], y2[-1], 'r*', label='solution')
  64 
  65         ax2.set(xlabel='$x$', ylabel='$y$')
  66         ax2.legend()
  67 
  68         fig.tight_layout()
  69         fig.savefig('test_plot.png', dpi=500)
  70 
  71         plt.show()
  72         plt.close()
  73 
  74     # 内部种子生成函数
  75     @staticmethod
  76     def get_seed(seed):
  77         if seed is not None:
  78             return numpy.array(seed)
  79         return numpy.random.uniform(-100, 100, 2)
  80 
  81     # 目标函数
  82     @staticmethod
  83     def func(x, y):
  84         return 5 * x ** 2 + 2 * y ** 2 + 3 * x - 10 * y + 4
  85 
  86     # 目标函数的归一化梯度
  87     @staticmethod
  88     def get_grad(x, y):
  89         grad_ori = numpy.array([10 * x + 3, 4 * y - 10])
  90         length = numpy.linalg.norm(grad_ori)
  91         if length == 0:
  92             return numpy.zeros(2)
  93         return grad_ori / length
  94 
  95 
  96 if __name__ == '__main__':
  97     GD()

  View Code

  笔者所用示例函数为：
  \begin{equation}
  f(x, y) = 5x^2 + 2y^2 + 3x - 10y + 4
  \end{equation}
• 结果展示：