如何判断单链表有环及正确性证明

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双指针判断单链表是否有环的正确性证明

​ 首先介绍一下这个问题。给你一个单链表，需要找到一个方法进行判断是否有环的存在。这篇文章主要证明一下，为什么存在环的情况下两个指针（slow和fast指针）就一定会相遇。

判断单链表是否有环

​ 使用两个slow, fast指针从头开始扫描链表。指针slow 每次走1步，指针fast每次走2步。如果存在环，则指针slow、fast会相遇；如果不存在环，指针fast遇到NULL退出。

　　就是所谓的追击相遇问题：

证明存在环就会导致两个指针（slow和fast指针）一定会相遇：

首先，如果存在环，那么快指针和慢指针一定会同时进入到环中。假设当slow指针刚进入环时，fast指针所在的结点编号是0（现在只考虑环中的结点），slow指针所在结点编号是k，那么就环展开就像如下图所示：

​ 由于slow和fast指针都是在环中的，所以可以将环展开的直线无限延伸。如果没有限制，slow和fast指针可以在环中无限的走下去。

​ 假如说是fast和slow指针可以相遇，且相遇的位置为k+m（其中m表示slow指针进入环后走了m步就和fast指针相遇了），那么m一定是有解的。

​ 由于slow指针从k结点走了m步就和fast指针相遇了，则一定有下面的等式成立：

$$k+m=2m \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1)$$
​ slow指针走了m步，会到达 $k+m$结点处，相应的fast走了m步会到达 $2m$结点，由于是两个指针走了m步相遇，所以一定有上面的等式(1)成立。由等式(1)可知，m一定是有解的，且 $m=k$。

​ 综上述 slow指针进入环后，只要再走k步（fast落后slow指针的结点数）就一定会和fast指针相遇。slow指针进入环后，假设fast指针再往前走k个节点就会到达当前slow指针的位置，那么当slow指针和fast指针同时移动的时候，slow指针每向前移动一个节点，fast指针就会向前移动两个节点，fast与slow之间的距离就会缩短一个，所以当移动k步之后，fast指针就会和slow指针相遇。
如果证明有误，欢迎留言指正~

参考资料：检测单链表是否有环