【学习笔记】关于最大公约数(gcd)的定理

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结论1

$\gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{\gcd(a,b)}-1$
证明:
采用数学归纳法。
令 $a=kb+p$, 则有 $\gcd(x^a-1,x^b-1)=\gcd(x^{kb+p}-1,x^b-1)=\gcd(x^p(x^{kb}-1)+x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^b-1,x^{(a\mod b)}-1)$.
中间一步利用到了如下结论: $(x-1)|(x^k-1)$, 证明直接因式分解: $x^k-1=(x-1)(\sum^{k-1}_{i=0} x_i)$

结论2

$\gcd(Fib(a),Fib(b))=Fib(\gcd(a,b))$
其中 $Fib(x)$为Fibonacci数列第 $x$项。
证明:
首先证明一个结论: $Fib(a+b)=Fib(a-1)Fib(b)+Fib(a)Fib(b+1)$
采用数学归纳法: $b=1, Fib(a+b)=Fib(a+1)=Fib(a)+Fib(a-1)=Fib(a-1)Fib(1)+Fib(a)Fib(2)$
$b=2, Fib(a+b)=Fib(a+2)=Fib(a+1)+Fib(a)=2Fib(a)+Fib(a-1)=Fib(a-1)Fib(2)+Fib(a)Fib(3)$
对于更大的 $b$, 假设有结论对 $b-1, b-2$成立，则 $Fib(a+b)=Fib(a+b-1)+Fib(a+b-2)=Fib(a-1)Fib(b-1)+Fib(a)Fib(b)+Fib(a-1)Fib(b-2)+Fib(a)Fib(b-1)=Fib(a-1)(Fib(b-2)+Fib(b-1))+Fib(a)(Fib(b-1)+Fib(b))=Fib(a-1)Fib(b)+Fib(a)Fib(b+1)$
因此假设成立。
然后考虑如何证明 $\gcd$: 首先 $\gcd(Fib(n),Fib(n-1))=1$ (数学归纳同样可证)，然后不妨设 $a>b$, 依然可以数学归纳证明，假设上式对于 $a,b$成立，则 $\gcd(Fib(a+b),Fib(a))=\gcd(Fib(a-1)Fib(b)+Fib(a)Fib(b+1),Fib(a))=\gcd(Fib(a-1)Fib(b),Fib(a))=\gcd(Fib(b),Fib(a))=Fib(\gcd(a,b))=Fib(\gcd(a+b,a))$.
证毕。
推广: 由于 $f(a+b)=f(a-1)f(b)+f(a)f(b+1)$对多种能表示成 $f(n)=af(n-1)+bf(n-2), (\gcd(a,b)=1)$的递推关系式都适用，因此对于此类关系式都有 $\gcd(f(a),f(b))=f(\gcd(a,b))$.