Greatest Common Divisor(GCD)
欧几里得算法据说是最早的算法,用于计算最大公约数,也是数论的基础算法之一。
1.欧几里德算法的思想:
欧几里德算法的思想基于辗转相除法的原理,辗转相除法是欧几里德算法的核心思想,欧几里德算法说白了其实就是辗转相除法的计算机算法的实现而已。下面我们先说说辗转相除法,辗转相除法的内容:如果用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数,那么根据辗转相除法的原理,有gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b)),其中mod()表示模运算,并且不妨让a>b,这样方便于模运算。
2.辗转相除法的正确性gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))的证明:
第一步:令c为a和b的最大公约数,数学符号表示为c=gcd(a,b).因为任何两个实数的最大公约数c一定是存在的,也就是说必然存在两个数k1,k2使得a=k1.c, b=k2.c
第二步:a mod (b)等价于存在整数r,k3使得余数r=a – k3.b.
即r = a – k3.b
= k1.c – k3.k2.c
= (k1 – k3.k2).c
显然,a和b的余数r是最大公因数c的倍数。
3.欧几里德算法的优点:
通过模运算的余数是最大公约数之间存在的整数倍的关系,来给比较大的数字进行降维,方便手算;同时,也避免了在可行区间内进行全局的最大公约数的判断测试,只需要选取其余数进行相应的计算就可以直接得到最大公约数,大大提高了运算效率。
这里给出使用欧几里得算法求最大公约数的递归和非递归的程序,同时给出穷举法求最大公约数的程序。
从计算时间上看,递推法计算速度最快。
程序中包含条件编译语句用于统计分析计算复杂度。
/* * 计算两个数的最大公约数三种算法程序 */ #include <stdio.h> //#define DEBUG #ifdef DEBUG int c1=0, c2=0, c3=0; #endif int gcd1(int, int); int gcd2(int, int); int gcd3(int, int); int main(void) { int m=42, n=140; printf("gcd1: %d %d result=%d\n", m, n, gcd1(m, n)); printf("gcd2: %d %d result=%d\n", m, n, gcd2(m, n)); printf("gcd3: %d %d result=%d\n", m, n, gcd3(m, n)); #ifdef DEBUG printf("c1=%d c2=%d c3=%d\n", c1, c2, c3); #endif return 0; } /* 递归法:欧几里得算法,计算最大公约数 */ int gcd1(int m, int n) { #ifdef DEBUG c1++; #endif return (m==0)?n:gcd1(n%m, m); } /* 迭代法(递推法):欧几里得算法,计算最大公约数 */ int gcd2(int m, int n) { while(m>0) { #ifdef DEBUG c2++; #endif int c = n % m; n = m; m = c; } return n; } /* 连续整数试探算法,计算最大公约数 */ int gcd3(int m, int n) { if(m>n) { int temp = m; m = n; n = temp; } int t = m; while(m%t || n%t) { #ifdef DEBUG c3++; #endif t--; } return t; }
转载:https://blog.csdn.net/tigerisland45/article/details/51151529
推荐:https://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html