1. 概念及基本框架

并查集 是一种高级数据结构，主要用于表示元素间的关系，即元素是否归属于同一个集合。

并查集

如上图，不同的颜色表示不同的集合，里面的数字表示元素存储的数据。下面给出并查集的基本接口。

class UnionFind{
public:
	virtual int size() = 0;
	virtual bool isEmpty() = 0;
	//是否连接
	virtual bool isConnected(int p, int q) = 0;
	//联合元素
	virtual void unionElements(int p, int q) = 0;
};

我们使用数组来实现并查集，这里我们忽略每个元素的数据，用每个元素的阶表示元素本身，用数组中存的数字表示元素所属集合。那么并查集的实现过程如下：
1.将每个元素初始化成自身，在下面的构造函数中实现。
2.联合，将需要联合的元素中存储的数字统一为一个。
3.查找，只要数组中存储的数字是一样的，那么认为两个元素属于同一个集合。

class QuickFind : public UnionFind{
public:
	QuickFind(int size){
		m_data = new int[size];
		for (int i = 0; i < size; ++i){
			m_data[i] = i;
		}
		m_size = size;
	}
	...
private:
	int *m_data;
	int m_size;
};

m_data 用来表示数组。
m_size 表示并查集大小。
接下来我们就对并查集的联合、查询以及一些其他基本操作用代码去实现。

2. 基本操作程序实现

2.1 联合操作

class QuickFind : public UnionFind{
public:
	...
	//联合元素
	void unionElements(int p, int q){
		if (p == q){
			return;
		}
		for (int i = 0; i < m_size; ++i){
			if (m_data[i] == m_data[q]){
				m_data[i] = m_data[p];
			}
		}
	}
	...
};

联合元素时，需要遍历一遍数组，然后把需要联合的元素都联合起来。

2.2 查找操作

class QuickFind : public UnionFind{
public:
	...
	//是否连接
	bool isConnected(int p, int q){
		return find(p) == find(q);
	}
	...
private:
	int find(int index){
		if (index < 0 || index >= m_size){
			cout << "访问越界！" << endl;
			throw 0;
		}
		return m_data[index];
	}
	...
};

用于查找两个元素是否被联合在一起。

2.3 其他操作

线段树还有一些其他的操作，包括 并查集大小 等的查询操作。

class QuickFind : public UnionFind{
public:
	...
	int size(){
		return m_size;
	}
	bool isEmpty(){
		return m_size == 0;
	}
	void print(){
		cout << "QuickFind: " << "Size = " << m_size << endl;
		cout << '[';
		for (int i = 0; i < m_size; ++i){
			cout << m_data[i];
			if (i != m_size - 1){
				cout << ',';
			}
		}
		cout << ']' << endl;
	}
	...
};

3. 算法复杂度分析

3.1 联合操作

函数	最坏复杂度	平均复杂度
unionElements	O(n)	O(n/2) = O(n)

因为要遍历一次数组，所以联合操作的时间复杂度为 O(n) 。

3.2 查找操作

函数	最坏复杂度	平均复杂度
isConnected	O(1)	O(1)

总体情况：

操作	时间复杂度
并	O(n)
查	O(1)

4. 完整代码

程序完整代码（这里使用了头文件的形式来实现类）如下：
虚函数接口 代码如下：

#ifndef __UNIONFIND_H__
#define __UNIONFIND_H__

class UnionFind{
public:
	virtual int size() = 0;
	virtual bool isEmpty() = 0;
	//是否连接
	virtual bool isConnected(int p, int q) = 0;
	//联合元素
	virtual void unionElements(int p, int q) = 0;
};

#endif

并查集 类代码：

#ifndef __QUICKFIND_H__
#define __QUICKFIND_H__

#include "UnionFind.h"

class QuickFind : public UnionFind{
public:
	QuickFind(int size){
		m_data = new int[size];
		for (int i = 0; i < size; ++i){
			m_data[i] = i;
		}
		m_size = size;
	}
	int size(){
		return m_size;
	}
	bool isEmpty(){
		return m_size == 0;
	}
	void print(){
		cout << "QuickFind: " << "Size = " << m_size << endl;
		cout << '[';
		for (int i = 0; i < m_size; ++i){
			cout << m_data[i];
			if (i != m_size - 1){
				cout << ',';
			}
		}
		cout << ']' << endl;
	}
	//是否连接
	bool isConnected(int p, int q){
		return find(p) == find(q);
	}
	//联合元素
	void unionElements(int p, int q){
		if (p == q){
			return;
		}
		for (int i = 0; i < m_size; ++i){
			if (m_data[i] == m_data[q]){
				m_data[i] = m_data[p];
			}
		}
	}
private:
	int find(int index){
		if (index < 0 || index >= m_size){
			cout << "访问越界！" << endl;
			throw 0;
		}
		return m_data[index];
	}
private:
	int *m_data;
	int m_size;
};

#endif

数据结构实现 9.1：并查集_数组结构实现（C++版）