网络流专题最小路径覆盖（最大流）

题目描述

«问题描述：

给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。提示：设V={1，2，.... ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

每条边的容量均为1。求网络G1的（ 0 x , 0 y ）最大流。

«编程任务：

对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

输入输出格式

输入格式：

件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。

输出格式：

从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

说明

1<=n<=150,1<=m<=6000

由@FlierKing提供SPJ

解题思路：如果明白一个定理的话是很好理解这一道题的

定理：路径数=点数 - 点的匹配数（不能两个匹配有公共点）

这样的话就是将原图转化成了点的最大匹配。

关于方案的输出：拆点之后利用并查集维护点之间的关系，利用残余网络当前边的流量>0的边为匹配的边。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define sca(x) scanf("%d",&x)
#define pb(x) push_back(x)
#define per(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define N 300
#define MAXN 30005
#define inf 0x3f3f3f3f

struct edg
{
    int to,w,c,nt;
}g[MAXN];

int S,T;
int tot=0;
int head[N];
void addedg(int u,int v,int w)
{
    g[tot].to=v;
    g[tot].w=w;
    g[tot].nt=head[u];
    head[u]=tot++;

    g[tot].to=u;
    g[tot].w=0;
    g[tot].nt=head[v];
    head[v]=tot++;
}

int dep[N];
bool bfs(int s,int t)
{
    memset(dep,-1,sizeof(dep));
    dep[s]=0;
    queue<int>q;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=g[i].nt)
        {
            int to=g[i].to;
            if(dep[to]==-1&&g[i].w>0)
            {
                dep[to]=dep[u]+1;
                q.push(to);
            }
        }
    }
    return dep[t]!=-1;
}
int cur[N];
int dfs(int s,int flow)
{
    int tmp=0;
    if(s==T)return flow;
    for(int i=head[s];i!=-1;i=g[i].nt)
    {
        int to=g[i].to;
        if(dep[to]==dep[s]+1&&g[i].w>0&&
        (tmp=dfs(to,min(flow,g[i].w))))
        {
            g[i].w-=tmp;
            g[i^1].w+=tmp;
            return tmp;
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int s,int t)
{
    int ans=0,d;
    while(bfs(s,t))
    {
        while(d=dfs(s,inf))
        {
            ans+=d;
        }
    }
    return ans;
}

int fa[N];
int F(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=F(fa[x]);
}

void U(int x,int y)
{
    fa[F(x)]=fa[F(y)];
}

int ou[N];
void Print(int n)
{
    rep(i,1,n)fa[i]=i;
    rep(i,1,n)
    {
        for(int j=head[i];j!=-1;j=g[j].nt)
        {
            if(g[j].w==0)
            {
                int to=g[j].to;
                if(to==T||to==S)continue;
                U(i,to-n);
            }
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(ou[i])continue;
        printf("%d",i);
        ou[i]=1;
        rep(j,1,n)
        {
            if(F(j)==F(i))
            {
                if(ou[j]==0)
                printf(" %d",j);
                ou[j]=1;
            }
        }
        printf("\n");
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    sca(n),sca(m);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    S=0,T=n*2+1;
    rep(i,1,n)
    {
        addedg(S,i,1);
        addedg(i+n,T,1);
    }
    rep(i,1,m)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        addedg(x,n+y,1);
    }
    int ans=dinic(S,T);
    Print(n);
    cout<<n-ans<<endl;
}