洛谷P2764 最小路径覆盖问题（最大流）

传送门

先说做法：把原图拆成一个二分图，每一个点被拆成$A_i,B_i$，若原图中存在边$(u,v)$，则连边$(A_u,B_v)$，然后$S$对所有$A$连边，所有$B$对$T$连边，然后跑一个最大流求二分图的最大匹配，那么最小路径覆盖就就是点数减去最大匹配

证明：设一开始的时候每一条路径都只覆盖一个点，然后考虑如何把两条路径合起来。因为两条路径不能相交，所以在二分图上一条路径必定是增广路，而这一条增广路上的匹配数就是被合并的边数，也就是减少的路径数。所以只要求出最大匹配，再用一开始的$n$条路径减去最大匹配就行了

 1 //minamoto
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<queue>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 8 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
 9 inline int read(){
10     #define num ch-'0'
11     char ch;bool flag=0;int res;
12     while(!isdigit(ch=getc()))
13     (ch=='-')&&(flag=true);
14     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
15     (flag)&&(res=-res);
16     #undef num
17     return res;
18 }
19 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
20 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
21 inline void print(int x){
22     if(C>1<<20)Ot();
23     while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
24     while(sr[++C]=z[Z],--Z);
25 }
26 const int N=505,M=50005,inf=0x3f3f3f3f;
27 int head[N],Next[M],ver[M],edge[M],cur[N],las[N],tot=1,vis[N];
28 int n,m,s,t,dep[N];
29 queue<int> q;
30 inline void add(int u,int v,int e){
31     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
32     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=0;
33 }
34 bool bfs(){
35     while(!q.empty()) q.pop();
36     memset(dep,-1,sizeof(dep));
37     for(int i=0;i<=2*n+1;++i) cur[i]=head[i];
38     q.push(s),dep[s]=0;
39     while(!q.empty()){
40         int u=q.front();q.pop();
41         for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
42             int v=ver[i];
43             if(dep[v]<0&&edge[i]){
44                 dep[v]=dep[u]+1,q.push(v);
45                 if(v==t) return true;
46             }
47         }
48     }
49     return false;
50 }
51 int dfs(int u,int limit){
52     if(!limit||u==t) return limit;
53     int flow=0,f;
54     for(int i=cur[u];i;i=Next[i]){
55         int v=ver[i];cur[u]=i;
56         if(dep[v]==dep[u]+1&&(f=dfs(v,min(limit,edge[i])))){
57             flow+=f,limit-=f;
58             edge[i]-=f,edge[i^1]+=f;
59             las[u]=v;
60             if(!limit) break;
61         }
62     }
63     return flow;
64 }
65 int dinic(){
66     int flow=0;
67     while(bfs()) flow+=dfs(s,inf);
68     for(int i=1;i<=n;++i)
69     if(!vis[i]){
70         int now=i;
71         print(now),sr[++C]=' ';
72         vis[now]=1;
73         while(las[now]){
74             print(las[now]-n),sr[++C]=' ';
75             now=las[now]-n;
76             vis[now]=1;
77         }
78         sr[++C]='\n';
79     }
80     return flow;
81 }
82 int main(){
83     n=read(),m=read();
84     s=0,t=2*n+1;
85     for(int i=1;i<=n;++i) add(s,i,1),add(i+n,t,1);
86     for(int i=1;i<=m;++i){
87         int u=read(),v=read();
88         add(u,v+n,1);
89     }
90     print(n-dinic()),sr[++C]='\n';
91     Ot();
92     return 0;
93 }