网络流补充——最大流与最小割

本文链接： https://blog.csdn.net/wljoi/article/details/102732798

网络流的定义

网络流(network-flows)是一种类比水流的解决问题方法，与线性规划密切相关。

引入

在具体讲解网络流之前，我们用一个例子来理解一下：

假设有一个自来水厂，自来水厂无限量地通过一条条水管向每家每户运输自来水，而我们在用完自来水后的废水也要通过一些管道流向一个废水站（容量可视为无穷大），管道有一定容量，问废水站最多可以收集多少水。

易知这是一个有向图。

那么解决这个问题的经典算法就是——网络流。

概念明确

容量：每条边最大的流量（上图边中间的数字，水管的容量）

源点：起点（上图中 $4$ 号点，自来水厂）

汇点：终点（上图中 $3$ 号点，废水站）

流：从源点到汇点的一条合法路径（上图中 $4-2-3$ ，自来水厂 $-$ 家 $-$ 废水站）

流量：每条边各自被经过的次数（上图中 $4-2-3$ 给每条边增加了 $20$ 的流量）

限制

每条边的流量不超过容量。

每条边的流入量等于流出量。

实现(増广路方法)

FF算法

具体讲解

$1.$ 找到一条从源点到汇点的路径，我们称其为増广路。

$2.$ 找到流过的路径剩余流量的最小值，记为 $v$

$3.$ 将答案加上 $v$

$4.$ 将该路径上所有边的剩余流量减去 $v$ ，其反向边的剩余流量加上 $v$ 。

重复上述步骤知道找不到路径为止。

会被极端数据卡死。

EK算法

对FF算法的优化，每次找最短路进行増广。

时间复杂度上界 $O(nm^2)$

大多数情况跑不满上界。

Dinic算法

EK的复杂度太高，需要优化。

先给每条边赋一个 $1$ 的权值，bfs找到每个点到源点的最短路。

如果源点到汇点的最短路不存在，即不存在増广路，退出。

dfs找所有的増广路，进行一些操作。

显然的是，如果増广一次后最短路没有任何变化，那么我们还是可以继续使用那条最短路，就不用bfs了。

时间复杂度： $O(n^2m)$

二分图最大匹配时间复杂度（所有边容量为 $1$ ）： $O(m\sqrt n)$

ISAP(Improved Shortest Augumenting Path)算法

这个是今天的重点。

我们观察到Dinic算法每次dfs是都要进行一次bfs，那么我们有没有办法进一步优化呢？

当然有。

这就是我们的ISAP算法。

观察到每一次求増广路时对我们的层次图改变不大，那么我们就只求一次层次图，在dfs里直接修改层次图来优化时间复杂度。

实现

从汇点到源点跑一遍bfs，找出最短路。

从源点到汇点进行dfs，如果一个点从前面的点传入的流量大于其流出的流量，那么这个点在当前深度就没有用处了，我们将深度++。

重复上述操作直到出现断层，即某个深度没有点，那么就不存在増广路，直接退出。

下面用代码加深理解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t;
int tot=1,first[200005],nxt[200005],to[200005],w[200005],dep[200005],cnt[200005];
int Read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')  f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
void Add(int x,int y,int z){
	nxt[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
	w[tot]=z;
}
void Bfs(int t){
	memset(dep,0xff,sizeof(dep));
	dep[t]=0;
	cnt[0]=1;
	queue<int> q;
	q.push(t);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int e=first[u];e;e=nxt[e]){
			if(dep[to[e]]==-1){
				dep[to[e]]=dep[u]+1;
				++cnt[dep[to[e]]];
				q.push(to[e]);
			}
		}
	}
}
int mf=0;
int dfs(int p,int f){
	if(p==t){
		mf+=f;
		return f;
	}
	int u=0;
	int e;
	for(e=first[p];e;e=nxt[e]){
		if(w[e]&&dep[to[e]]==dep[p]-1){
			int uu=dfs(to[e],min(w[e],f-u));
			if(uu){
				w[e]-=uu;
				w[e^1]+=uu;
				u+=uu;
			}
			if(u==f)  return u;    //如果流入等于流出，那么就结束
		}
	}
	//此时流入必定大于流出，我们操作一下这个点
	if(!--cnt[dep[p]]){  //出现断层
		dep[s]=n+1;
	}
	++cnt[++dep[p]];
	return u;
}
signed main(){
	n=Read(),m=Read(),s=Read(),t=Read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int U=Read(),V=Read(),W=Read();
		Add(U,V,W);
		Add(V,U,0);
	}
	Bfs(t);
	while(dep[s]<n){
		dfs(s,0x3fffffff);
	}
	cout<<mf<<endl;
	return 0; 
}

关于ISAP和Dinic的复杂度

二分图Dinic快，一般图ISAP快。

理论复杂度上界一样。