luogu P2764 最小路径覆盖问题（最大流）
题目大意
给定有向图 G=(V,E)。设 P是 G的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果 V 中每个定点恰好在P的一条路上，则称 P 是 G的一个路径覆盖。P中路径可以从 V 的任何一个定点开始，长度也是任意的，特别地，可以为 0 。G 的最小路径覆盖是 G所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个 GAP (有向无环图) G 的最小路径覆盖。
解题思路
最初的情况是所有的点连自己使得出现最多的路径条数覆盖，而每两个点之间连一条边就可以使得连的边的数量减少1（这个点不能已经连接了两条边了，否则不会使得边数减少），因此，这个问题就是点与点之间最多可以连接多少条边.将所有的点拆为入点和出点，设定一个超级源点，连接所有的出点，所有入点连接超级汇点，GAP中的边作相应出点到入点的连接.这里所有的边设定容量为1，跑出最大流就是所能减小的最大边数了.再由点数减去即是答案
AC代码
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
const int maxm=2e4+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct Edge{
int to,next,cap,flow;
}edge[maxm];
int tol;
int head[maxn];
void init()
{
tol=2;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void AddEdge(int u,int v,int w,int rw=0)
{
edge[tol].to=v;edge[tol].cap=w;edge[tol].flow=0;
edge[tol].next=head[u];head[u]=tol++;
edge[tol].to=u;edge[tol].cap=rw;edge[tol].flow=0;
edge[tol].next=head[v];head[v]=tol++;
}
int Q[maxn];
int dep[maxn],cur[maxn],sta[maxn];
bool bfs(int s,int t,int n)
{
int front=0,tail=0;
memset(dep,-1,sizeof(dep[0])*(n+1));
dep[s]=0;
Q[tail++]=s;
while(front<tail)
{
int u=Q[front++];
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(edge[i].cap>edge[i].flow&&dep[v]==-1)
{
dep[v]=dep[u]+1;
if(v==t) return true;
Q[tail++]=v;
}
}
}
return false;
}
int dinic(int s,int t,int n)
{
int maxflow=0;
while(bfs(s,t,n))
{
for(int i=0;i<n;i++) cur[i]=head[i];
int u=s,tail=0;
while(cur[s]!=-1)
{
if(u==t)
{
int tp=inf;
for(int i=tail-1;i>=0;i--)
{
tp=min(tp,edge[sta[i]].cap-edge[sta[i]].flow);
}
maxflow+=tp;
for(int i=tail-1;i>=0;i--)
{
edge[sta[i]].flow+=tp;
edge[sta[i]^1].flow-=tp;
if(edge[sta[i]].cap-edge[sta[i]].flow==0) tail=i;
}
u=edge[sta[tail]^1].to;
}
else if(cur[u]!=-1&&edge[cur[u]].cap>edge[cur[u]].flow&&dep[u]+1==dep[edge[cur[u]].to])
{
sta[tail++]=cur[u];
u=edge[cur[u]].to;
}
else {
while(u!=s&&cur[u]==-1) u=edge[sta[--tail]^1].to;
cur[u]=edge[cur[u]].next;
}
}
}
return maxflow;
}
bool vis[200];
vector<int > anss[200];
int main()
{
int n,m;
// freopen("p2764.in","r",stdin);
memset(vis,0,sizeof(vis));
init();
scanf("%d%d",&n,&m);
int s=0,t=2*n+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
AddEdge(s,i,1);
AddEdge(i+n,t,1);
}
int u,v;
while(m--)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
AddEdge(u,v+n,1);
}
int ans=dinic(s,t,2*n+2);
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(vis[i]==1) continue;
anss[i].push_back(i);
while(!q.empty()) q.pop();
q.push(i);
while(!q.empty())
{
int k=q.front();
q.pop();
for(int j=head[k];j!=-1;j=edge[j].next)
{
if(edge[j].flow==1&&!vis[edge[j].to-n])
{
anss[i].push_back(edge[j].to-n),vis[edge[j].to-n]=1;
q.push(edge[j].to-n);
break;
}
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(auto x:anss[i]) cout<<x<<' ';
if(anss[i].size()!=0)cout<<endl;
}
cout<<n-ans<<endl;
}