读书笔记: 范畴论

基本概念

范畴论

数学构造(Mathematical structure)
在数学上，在集合上的一个构造是一个附加的数学对象，赋予这个集合某种意义。
范畴论(category theory)
范畴论的目的是：规范化数学构造。
方法为：使用带标签的有向图。
研究内容：各种数学结构之间的关系。

范畴(category)

一个范畴是一个带标签的有向图，其节点为对象(object)，带有标签的有向边为箭头(arrow or morphism)。

一个范畴C包含3个数学实体：

对象集合：ob(C)
每个元素都是一个对象，一个对象又可以认为是一个集合。
态射集合: hom(C)
态射集合的每个元素是一个态射, $f: a \to b$，每个态射f有一个源对象(source object) a和目标对象(target object)b。
$hom(a, b)$表示从a到b的所有态射。
性质：二元操作：态射结合(composition of morphisms): $\circ$
$f: a \to b, g: b \to c$ 的结合是 $g \circ f$。具有
- 满足结合律(Associativity): $ h \circ ( g \circ f ) = ( h \circ g ) \circ f $
- 存在恒等态射(identity):
  对于每个对象x，存在一个恒等态射(identity morphism) $1_x: x \to x$，
  其性质为，对于任何态射$f: a \to b$，有$1_b \circ f = f = f \circ 1_a$
  恒等态射的含义是：定义了相同关系(equality relation A = B)。
  可以简单的认为是；$f(x) = x$。

态射(morphism)

态射可以理解为一个函数，在范畴论中，往往表示为一个对象和另一个对象的map关系。
态射作为函数理解的时候，不用纠结于参数的个数。

态射的种类($f: a \to b$)：

单态射(monomorphism or monic)
如果$f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2, \forall g_1, g_2: x \to a$。
其含义是：不存在两个a中元素 map 到同一个b中的元素。
$\forall a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)$
满态射(epimorphism or epic)
如果$g_1 \circ f = g_2 \circ f \implies g_1 = g_2, \forall g_1, g_2: b \to x$。
其含义是：每一个b中的元素，都在a中有至少一个 source mapper。
双态射(bimorphism)
即是单态射，有时满态射。

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同构(isomorphism)
如果存在一个同构$g:b \to a$，有$f \circ g = 1_b, g \circ f = 1_a$。
其含义是：a,b两个对象的元素存在一对一的 map 关系。
同构 = 双态射 + 存在逆态射。
g称为逆态射，也是一个同构，g 的逆态射是 f。
比如：f是加法，g是减法。
自态射(endomorphism)
表示一个态射源对象和目标对象是同一个, $f: a \to a$。记为：end(a)。
自同构(automorphism)
如果f既是一种自态射，又是具有同构性。记为：aut(a)。
撤回射(retraction)
如果存在一个f的右逆，也就是说，如果存在: $g : b \to a, f \circ g = 1_b。
f 是另一个态射g的撤回射，其含义是：g 可以通过f找到 source element。f必定是一个满态射(epimorphism)。
部分射(section)
如果f的左逆是存在的，也就是说，如果存在: $g : b \to a, g \circ f = 1_a。
f 是另一个态射g的部分射，其含义是：f 确定了g的同构部分。f必定是一个单态射(monomorphism)。
是不是可以理解为f的g应用的一个条件???
同态(homomorphism)
同态(homomorphism)是一个态射，表示一个数学结构\mathcal{A}(C, , e)到另一个数学结构\mathcal{B}(C', ', e')的map关系，并且维持了数学结构上的的每一种操作*。
同态(homomorphism) $f: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$，有：
$f(x * y) = f(x) *' f(y)$

同一种操作在不同的数学结构上定义可以不同。
比如：指数函数是一个同态。

\[ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ f(x) = e^x \\ e^{x + y} = e^x e^y \to f(x * y) = f(x) * f(y) \\ where \\ f \text{ exponential function is a homomorphism} \\ \text{the source is A} = \mathbb{R} \\ \text{the target is B} = \mathbb{R} \\ * = + \text{ in A} \\ * = \times \text{ in B} \]

域(domain)/协域(codomain)
对于一个态射(morphism) $f : S \to T$。域(domain)是这个态射的源，协域(codomain)是这个态射目标。
范畴的表达
1. 表达1

\[ C = (Ob(C), Hom_C(x,y), id_x, \circ) \\ where \\ Ob(C) \in Set_{object} \\ Hom_C(x, y) \in Set_{morphism} \ | \ x, y \in Ob(C) \\ id_x \in Hom_C(x, x) \text{ : identity morphism of x} \\ \circ : Hom_C(y, z) \times Hom_C(x, y) \to Hom_C(x, z) \text{ : composition formula} \\ \text{Identity Law:} \\ \forall x, y \in Ob(C), f: x \to y \\ f \circ id_x = f \\ id_y \circ f= f \\ \text{Associative Law:} \\ \forall w, x, y, z \in Ob(C), h: w \to x, g: x \to y, f: y \to z \\ (h \circ g) \circ f = h \circ ( g \circ f) \in Hom_C(w, z) \]

函子(functor)

函子是范畴之间的map关系。可以理解为范畴之间的态射。

协变(covariant)函子
$F: C \to D$, F包含：
- 对于每一个 C 中的对象x，对应一个 D 中的F(x)。
- 对于每一个C中的态射$f: x \to y$，对应D的态射$F(f): F(x) \to F(y)$。
逆变(contravariant)函子
和协变函子类似，只不过态射的方向是从D到C。

自然转换(Natural transformation)

自然转换是两个函子之间的关系。函子描述“自然构造(natural constructions)”，自然转换描述两个这样构造的"自然同态(natural homomorphisms)"。
homomorphism的意思是相同的形状。

其它

本体(olog)
交换图(commutative diagram)
通用性质(universal property)
如果，两个数学结构是同构(isomorphism)，那么它们之间就存在通用性质。
同构意味着两个数学结构X和Y中的元素是存在一一对应。
那么，Y上的性质(态射)意味着X上存在一个对应的性质(态射)。比如：
X = {A, B, C}
Y = {1, 2, 3}
A --> 1
B --> 2
C --> 3
如果+(1, 2) = 3，我们也可以认为存在 +(A, B) = C。起点性质。
如果+(1, 2)，我们也可以认为存在 +(C) = (A, B)。起点性质。
通用性质(universal property)要么是一个起点性质(initial property)，要么是一个终点性质(terminal property)。
- 起点性质(initial property)
  唯一存在
  \[ U: D \to C \\ D \{ A, Y \} \\ C \{ X, U(A), U(Y), \phi: X \to U(A) \} \\ \therefore \\ \text{initial property:} \\ \forall f: X \to U(Y) \\ \exists g, g: A \to Y \\ \exists U(g), g: U(A) \to U(Y) \\ \]
- 终点性质(terminal property)
  唯一存在
  \[ U: D \to C \\ D \{ A, Y \} \\ C \{ X, U(A), U(Y), \phi: U(A) \to X \} \\ \therefore \\ \text{terminal property:} \\ \forall f: U(Y) \to X \\ \exists g, g: Y \to A \\ \exists U(g), g: U(Y) \to U(A) \\ \]
- 起点性质示例
  \[ X = (L : (a,b,c), A:L \times L, B: L) \\ Y = (N : (1,2,3), A_y:N \times N, B_y: N, C_y: A_y) \\ \phi: C_y \to A_y = c \\ \text{e.g. } (1, 2) = (1, 2) \\ f: C_y \to B_y = c_1 + c_2 \\ \text{e.g. } 1 + 2 = 3 \\ \therefore \\ \exists g: A \to B \\ \text{e.g. } a + b = c \]
- 终点性质示例
  \[ X = (L : (a,b,c), A:L \times L, B: L) \\ Y = (N : (1,2,3), A_y:N \times N, B_y: N, C_y: B_y) \\ \phi: A_y \to C_y = a_1 + a_2 \\ \text{e.g. } 1 + 2 = 3 \\ f: B_y \to C_y = b \\ \text{e.g. } 3 = 3 \\ \therefore \\ \exists g: B \to A \\ \text{e.g. } c = a + b \]
拉回(pullback)
推出(pushout)
limit/colimit

关系

二元关系(binary relation)
一个基于集合X的二元关系，是一个$R \subseteq X \times X$的子集。
等价关系(equivalence relations)
一个集合X上的等价关系$\sim$，是一个$R \subseteq X \times X$的子集，具有
- 自反性(Reflexivity)
  $(x, x) \in R$
- 对称性(Symmetry)
  $(x, y) \in R \text{, iff } $(y, x) \in R$$
- 传递性(Transitivity)
  $\text{if } (x, y) \in R, (y, z) \in R \text{, then } $(x, z) \in R$$

幺半群(monoid)

幺半群可以代表一个序列或者列表。

幺半群(monoid)
一个幺半群是一个序列(sequence)$(M, e, \star)$。M是一个集合，
$e \in M$是一个元素，成为单位元素(identity element)。
$\star : M \times M \to M$是一个函数，称为乘法公式(multiplication formula)。
幺半群具有以下属性：
- 同一律(identity law)
  $m \star e = m$
  $e \star m = m$
- 结合律(associativity law)
  $(m \star n) \star p = m \star ( n \star p)$
  比如：字符串就是一个幺半群，e = "", $\star$ = +。
List in set
集合X，在X上的List是
\[ (n, f) \\ where \\ n \in \mathbb{N} \text{ : the length of the list} \\ f: \underline{n} \to X \\ \underline{n} = \{ 1,2, \cdots, n\} \]
记做:
\[ (n, f) = [f(1), f(2), \cdots, f(n)] \]
列表单体(free monoid generated by X)
$M: = (List(X), [], ++)$
List(X)；集合X的元素列表集合。
[]是一个空列表。
++是连接操作(concatenation)。
显示幺半群(presented monoid)

显示幺半群的作用是提供了替换方法。
由有限集合G和等价关系产生的显示幺半群(the monoid presented by generators G and relation $ { (m_i, m'_i) | 1 \le i \le n } $)

\[ M = \{ M, e, \star \} \\ where \\ \{ (xm_iy \sim xm'_iy) | x, y \in List(G), 1 \le i \le n \} \text{ : equivalence relation} \\ M = List(G)/\sim \\ e = [] \\ \star \text{ : concatenating operation} \]

循环(cyclic)幺半群

循环幺半群的作用是提供了一个环形列表的定义方法。
循环(cyclic)幺半群是只有一个等价关系的显示幺半群。
幺半群行动(monoid actions)
在集合S上的幺半群$(M, e, \star)$的行动为函数:
\[ \hookrightarrow \]

符号

术语	English	Notation
单态射	monomorphisms	$ \hookrightarrow $
满态射	epimorphisms	$ \twoheadrightarrow $
同构	isomorphisms	$ \overset{\sim}{\to} $

群(group)

group是一个monoid，并且每个元素都有一个倒数(inverse)。
推论：倒数具有唯一性。

图形(graphs)

图形(graphs)是由多个顶点(vertex)和顶点之间的箭头(arrow)定义而成。
路径(path)

顺序(order)

预次序关系(preorder)
预次序关系(preorder)$(S, \leq)$是一个基于集合S的二元关系$R \subseteq S \times S$，
R的关系：$\text{if } (s, s') \in R, \text{then } s \leq s'$
并且有
- 自反性(Reflexivity): $s \leq s$
- 传递性(Transitivity): $\text{if } s \leq s' \text{and } s' \leq s", \text{then } s \leq s"$
部分有序(partial order)
部分有序(partial order)是预次序关系，并且
- 反对称性(Antisymmetry)
  如果s <= s', 并且 s' <= s, 则 s = s'。
线性有序(linear order)
线性有序(linear order)是部分有序，并且
- 可比较性(Comparability)
  要么 s <= s', 要么 s' <= s。
派系(clique)
派系(clique)中的每两个点都是毗邻的(adjacent)。
\[ clique \doteq S' \\ where \\ (S, \leqslant) \text{ is a preorder}\\ S' \subseteq S \\ a \leqslant b, \forall a,b \in S' \]
meet 和 join
$(S, \leqslant)$是一个preorder。$s, t \in S$
s和t的meet(the biggest thing smaller than both)是一个元素$w \in S$，
表示为：$ w \cong s \land t $
具有:
\[ w \leqslant s \\ w \leqslant t \\ x \leqslant w \ | \ \forall x \in S, x \leqslant s \ \And \ x \leqslant t \]
s和t的join(the smallest thing bigger than both)是一个元素$w \in S$，
表示为：$ w \cong s \lor t $
具有:
\[ s \leqslant w \\ t \leqslant w \\ w \leqslant x \ | \ \forall x \in S, s \leqslant x \ \And \ t \leqslant x \]
meet 和 join 不一定是唯一的。任何两个meet一定在同一个派系内。

digraph finite_state_machine {
    rankdir=LR;
    size="8,5"

    node [shape = doublecircle]; S;
    node [shape = point ]; qi

    node [shape = circle];
    qi -> S;
    S  -> q1 [ label = "a" ];
    S  -> S  [ label = "a" ];
    q1 -> S  [ label = "a" ];
    q1 -> q2 [ label = "ddb" ];
    q2 -> q1 [ label = "b" ];
    q2 -> q2 [ label = "b" ];
}

反顺序(Opposite order)
$S := (S, \leqslant)$是一个预次序(preorder)，则反顺序$S^{op} := (s, \leqslant^{op})$,
有：
$ s \leqslant s' \iff s' \leqslant s $
次序的态射(morphism of orders)
从$S := (S, \leqslant)$到$S' := (S', \leqslant')$次序的态射f，表示为$f: S \to S'$。
\[ \text{if } s_1 \leqslant s_2 \text{, then } f(s_1) \leqslant f(s_2) \]

Database vs Graph

路径等价声明(path equivalence declaration)
图形$G := (V, A, src, tgt)$, $Path_G$为G中所有路径的集合。
$p \simeq q | p,g \in Path_G$为路径等价声明，表示p,g有相同的起点和终点。
在G上的一个一致(congruence) 是一个在$Path_G$上的 等价关系$\simeq$，具有:

$\simeq$是一个等价关系.
如果 $p \simeq q$，则src(p) = src(q).
如果 $p \simeq q$，则tgt(p) = tgt(q).
假设 $p,q: b \to c$是路径，并且$m: a \to b$。如果 $p \simeq q$，则$mp \simeq mq$.
假设 $p,q: b \to c$是路径，并且$n: b \to c$。如果 $p \simeq q$，则$pn \simeq qn$.

$\simeq$ 是一个集合，定义了图形上的所有约束。

引理:假设$p simeq q : a \to b, r \simeq s: b \to c$，则$pr \simeq qs$。
Database Schema
Database Schema $C := (G, \simeq)$，G是一个图形，$\simeq$是G上的一致。
Olog = Database Schema
实例(instance)
一个顶点对应的集合，和出入箭头的所有路径上的节点集合。
\[ (PK, FK) : C \to Set \text{ is an instance} \\ where \\ C = (G, \simeq) \\ G = (V, A, src, tgt) \\ PK : V \to Set \text{, one set for one vertex} \\ FK(a) : PK(v) \to PK(w) \ | \ v = src(a), w = tgt(a), \forall a \in A \]
路径法则(Law 1 - Path through a database)
\[ FK(a_m) \circ \dots \circ FK(a_1) (x) = FK(a'_n) \circ \dots \circ FK(a'_1) (x) = PK(w), \forall x \in PK(v) \\ where \\ p = v a_1 a_2 \dots a_m : v \to w \\ q = v a'_1 a'_2 \dots a'_n : v \to w \\ p \simeq q \]

范畴化

如何将一个monoid/order group/group index通过一个函子转化成一个范畴。

Database Schema present categories

参照

Category Theory for Scientists by David I. Spivak
Mathematical structure