Denoising Point Sets Via L0 Minimization

Abstract

• 我们通过L0最小化提出了各向异性点云去噪方法。
• L0范数直接测量解的稀疏性，我们观察到许多常见的对象可以定义为具有少量特征的分段光滑表面。
• 我们的方法可以较好地恢复尖锐的特征，同时即使在存在大量噪声的情况下也能平滑剩余的区域。

Introduction

• 重建算法的输入是从所讨论的对象中获取的点集。
• 重构表面的质量主要依赖于输入点集的质量。
• 去噪点集本质上是一个具有挑战性的问题，因为根据定义，没有连接信息来指导去噪过程。
• 具有尖锐特征的去噪点集的处理问题更加困难，尤其是在存在大噪声的情况下，因为这些特征难以与噪声区分开来。
• 我们的观察是许多常见的表面是分段光滑的，即表面是光滑的，除了在一些少数空间特征形成尖锐的特征。
• 直接优化解的稀疏性的想法是压缩感知领域的关键思想。
• L0范数是一个这样的度量，它测量向量中的非零条目的数量并且与稀疏性相关。
• 许多研究人员使用最稀疏的凸范数，L1范数来生成易处理的优化，仍然会产生稀疏解。
• 我们的方法可以有效地消除噪音，以最大化平滑区域，并恢复尖锐的特征。
• 我们首先将L0最小化从图像和网格扩展到非结构化点云.
• 我们的方法可以恢复点位置和点方向，并提高边缘感知上采样的性能，即使在存在高噪声的情况下也是如此.
• 我们利用投影运算实现了尖锐边缘的恢复。

Related work

• LOP运算符的核心是将任意数量的粒子投影到一个点集，以表示原始点集的局部L1范数中值。
• WLOP通过生成一个更加分散的点集，从而改进了LOP算法。
• KLOP 减少了LOP计算的代价
• 各向异性LOP根据点方向各向异性地将点指向局部L1中值，可以比WLOP、KLOP更好的保留锐化边缘。
• 利用L0范数直接测量稀疏性，但L0范数的直接最小化是一个高度非凸的问题，由于其离散的组合性质因而非常难以优化。
• 在图像处理领域已经采用L1范数来对图像的总变差的稀疏性进行去噪和去模糊。
• 通过直接应用加权L1最小化程序来恢复点方向，然后恢复点位置以保持锐利特征。
• 本文的方法也是一个全局方式，它可以处理更高级别的噪声，这是因为L0比L1更稀疏。
• 本文的方法可以更好的恢复边缘上的点。
• 现在存在两种主要的表面重构技术：参数和隐式
• 参数方法明确地构建重建表面的拓扑，并且经常使用delaunary三角剖分或Voronoi图。
• 隐式方法构造一个函数，其级别集是重构曲面。隐函数可以采用多种形式，如有符号距离场
• 利用点云实现表面重构的其他方式是移动最小二乘（MLS），其主要通过将点的位置重复迭代地映射到局部拟合多项式，从而实现表面重构。
• 对于LOP算法，当噪声量很大时，操作的局部性可能导致全局方法避免的伪像。
• 本文使用L0优化直接平滑点云，并且它可以处理大量的噪声。
• 我们的平滑过程涉及估算每个点的法线。
• 本文的最小化L0方法不仅可以恢复点的位置，还可以恢复点的方向。

L0 optimization

• L0范数直接测量稀疏性，但是它难以直接进行优化。我们的工作扩展了L0最小化的一维信号平滑，二维图像平滑，以及三维网格去噪。
• 一个向量的L0范式被定义为非零向量的个数，其具体的表达式如下：
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L0 minimization for point cloud denoising

• 为了简化问题，我们分解了方向与位置。我们使用一个相似的L0优化，我们从求解法向量开始，基于法向量的信息来恢复点云的位置。
• 我们的算法可以分解为三步骤：

1. 我们通过观察临近点之间的法线的平滑变化来估计法线。
2. 我们将基于估计的法向量的信息来修正点的位置，如果一个点在一个平滑区域，那么这个点与它临近的k个点都将构成一个与点的法向量相互垂直的面。
3. 我们将沿着这个边缘恢复这些点，从而更好地展现出底层的几何。

Normal Estimate

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Point Denoising

Edge Recover

Point cloud upsampling

• 我们的L0最小化通过那些在边缘上的点生成分段平滑点集和强大的法向量估计。
• 最初的EAR方法包含两步：

1. 基于一个各项异性的WLOP算子来进行重采样那些远离边缘的点，为了生成可信赖的点的方向。
2. 基于这些法向量，新的点将会被插入和映射到这些未知的底层表面

Results and discussion

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Future work and conclusion