排序算法大杂烩之归并排序

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归并排序

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

//典型的分治策略,拆分，解决,合并
void Merge(vector<int> &a,int low,int high){
    vector<int> p1,p2;
    int mid = (low + high)/2;
    for(int i = low;i <= mid;i ++) p1.push_back(a[i]);
    for(int i = mid + 1;i <= high;i ++) p2.push_back(a[i]);
    vector<int>::size_type i = 0,j = 0,cur = low;
    while(cur <= high){
        if(i >= p1.size()) a[cur ++] = p2[j ++];
        else if(j >= p2.size()) a[cur ++] = p1[i ++];
        else if(p1[i] <= p2[j]) a[cur ++] = p1[i ++];
        else a[cur ++] = p2[j ++];
    }
}
void merge_sort(vector<int> &a,int low,int high){
    if(high == low) return;
    //high < low 异常不做处理
    int mid = (low + high)/2;
    merge_sort(a,low,mid);
    merge_sort(a,mid + 1,high);
    Merge(a,low,high);
    return;
}

int main()
{
    vector<int> a{2,3,4,5,1,9};
    merge_sort(a,0,a.size() - 1);
    for(auto c : a) cout << c << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

• 思维引擎

1. 归并排序仍然是经典的分治案例，分成三个部分完成分解，解决，合并
   • 问题定义：对序列 $A[1..n]$经进行排序
   • 分解： 对子 $A[l..h]$划分成 $A[l..m]$, $A[m+1..h]$两个部分，其中 $m = \lfloor \frac{m+h}{2} \rfloor$
   • 解决：递归的解决两个子序列
   • 合并：将两个有序的子序列合并成一个有序的序列
2. 如何合并两个子序列
   额外使用o(n)保存两个子序列，依次比较子序列的元素键值，然后按大小关系放入原序列的位置，这里需要注意的处理一个子序列已经遍历完成的情况。

• 时间复杂度
  分治的时间复杂度计算不是很复杂，分别求出分解，解决，合并的时间复杂度，再相加就可以求出递归式了。
  $T(n) = 2T(n/2) + o(n) \\ \Rightarrow T(n) = o(nlogn)$
• 空间复杂度
  在合并子问题时候需要 $o(n)$的额外空间
• 稳定性分析
  可以看到在合并子问题的过程中，能确保相同键值元素的相对位置的，所以是稳定排序算法。

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