题目
题目大意
首先有一个定义：
对于一个数，如果和它互质的数可以组成一个等差数列，那么这个数叫“好数”。
现在给你一个数列，有三种操作：
1、询问一段区间内的好数的个数。
2、将一段区间内的数分别模一个值。
3、将某个数修改。
思考历程
先看看这个题目。
好熟悉的题目啊！这不就是初中OJ上的某道数位DP的题吗？
然后发现不是那一道题，松了一口气。
一眼看下去，一定有什么数论。说不定在得到了什么结论之后，就变成一个非常简单的数据结构题了。
然后就在疯狂地推式子……最终没有推出来……
于是就弃疗了。
正解
经过打表找规律后，我们发现：
好数分为三种情况：
1、质数。
2、
的幂次。
3、
随便想一想，我们很容易知道这些数都是好数。
可问题是，其它的数有没有可能是好数呢？
我不知道，我也不会证明……
不过对于这题来说，由于数据范围不大（也就是
以内），所以打个表当然是可以的……
这再次告诉了我们打表找规律很重要的道理。
在CGH大佬的讲解下，我终于会证明了……
首先，每个数都可以表示成
的形式，其中
为奇数。
接下来我们分类讨论：
当
时
我觉得这个不用说……
当
时，
首先
。
由于
为奇数，所以
那么
和
都与
互质，所以等差数列的公差为
。
既然这样，
到
都要和
互质。
所以
自然是质数。
当
时，
由于
为奇数，所以
且
所以
和
为偶数，和
不互质。显然
和
也不互质。
所以公差为
。
首项显然是
，然后我们列出来：1 5 9...
、
和
互质，没有问题。
可是
呢？
如果
和
互质，那么
必定和
互质，所以不成立！
所以在
且
时，可以的取值范围在
以内。特别计算一下，只有
符合条件。
综上所述，只有
、
的幂次、质数、
可以为好数。
得证。
再次膜拜一下CGH大爷。
知道了这个结论之后，仔细地再想一想，其实出解还是很容易的。
首先，好数会和模有什么关系？不用想了，反正我们已经打出了表，对一下表，我们就知道它和模似乎没有什么关系。所以，我们考虑暴力。
暴力？不会爆炸吗？
我可以很肯定地告诉你，不会爆炸。
为什么？
有一个很显然的结论：当
时，
可以感性理解，也可以理性证明：
我们可以分类讨论：
当
时，那么
当
时，那么
得证。
所以说，在每次操作中，某个数一定会缩小一半或以上。
在没有修改的情况下，
能取模
次（当然
大于模数）。
我们有一种很巧妙的思想，这种思想其实也不少见了。
有些操作看似暴力，实际上它的操作次数是有限的，所以你可以这么想：
不管操作次数有多少次，反正我最多只做这么多遍，你管我啊？
曾经我用过这个思想切掉了某一道题解说必须用块状链表，而不能用线段树的题目。我用了线段树AC，暴虐题解的感觉真爽……
对于这题，我们可以用线段树维护。
记录区间的好数个数还有最大值。
我们在操作2时，可以先看看这个区间的最大值是多少，如果最大值大于模数，那么就进入这个区间。
这样保证了进入每一个区间都不可能做无用功，所以保证了时间复杂度。
对于每个数，最多被模
次，总共有
个数，每次暴力模一个数最多花费
的时间。所以说，不管怎样，你最多就暴力模了
次。
实际上远远不到这么多，首先数据不会这么狠心地将所有数的价值榨干，其次，在进入一个区间后，处理一些去要处理的数往往是顺路的，也就是说，很难每次暴力下去模都花费
的时间。
可能你会问，修改怎么办？
修改就修改喽，管它呢！
你可以看做将原来的数删去，然后插入一个新的数。原来的数剩余被模的机会没了，新来的数还有一些被模的机会。然而，修改的次数也不多，是有范围的，级别也和
差不多吧。就当成是多了这么多个数，实际上时间复杂度也不会被影响。
然后呢，然后呢？当然是没有然后了。
这题就被轻轻松松地解决了。
代码
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100000
#define MAX 1000000
int n,m;
bool is[MAX+1];
int pri[MAX+1];
int sum[N*4+1],mx[N*4+1];
void build(int,int,int);
int qsum(int,int,int,int,int);
void find(int,int,int,int,int,int);
void change_set(int,int,int,int,int);
int main(){
memset(is,1,sizeof is);
//下面是求质数
for (int i=2;i<=MAX;++i){
if (is[i])
pri[++*pri]=i;
for (int j=1;i*pri[j]<=MAX && j<=*pri;++j){
is[i*pri[j]]=0;
if (i%pri[j]==0)
break;
}
}
//除了质数之外还有0，6，2^i
is[0]=1,is[6]=1;
for (int i=0;1<<i<=MAX;++i)
is[1<<i]=1;
scanf("%d%d",&n,&m);
build(1,1,n);
for (int i=1;i<=m;++i){
int op;
scanf("%d",&op);
if (op==1){
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",qsum(1,1,n,l,r));
}
else if (op==2){
int l,r,mo;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&mo);
find(1,1,n,l,r,mo);
}
else{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
change_set(1,1,n,x,y);
}
}
return 0;
}
void build(int k,int l,int r){
if (l==r){
scanf("%d",&mx[k]);
sum[k]=is[mx[k]];
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
mx[k]=max(mx[k<<1],mx[k<<1|1]);
}
int qsum(int k,int l,int r,int st,int en){
if (l==st && r==en)
return sum[k];
int mid=l+r>>1;
if (en<=mid)
return qsum(k<<1,l,mid,st,en);
if (mid<st)
return qsum(k<<1|1,mid+1,r,st,en);
return qsum(k<<1,l,mid,st,mid)+qsum(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,en);
}
void find(int k,int l,int r,int st,int en,int mo){
if (mx[k]<mo)//如果没有可以被模的数，那就不要继续了
return;
if (l==r){
sum[k]=is[mx[k]%=mo];//暴力修改……
return;
}
int mid=l+r>>1;
if (en<=mid)
find(k<<1,l,mid,st,en,mo);
else if (mid<st)
find(k<<1|1,mid+1,r,st,en,mo);
else{
find(k<<1,l,mid,st,mid,mo);
find(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,en,mo);
}
sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
mx[k]=max(mx[k<<1],mx[k<<1|1]);
}
void change_set(int k,int l,int r,int x,int c){
if (l==r){
sum[k]=is[mx[k]=c];
return;
}
int mid=l+r>>1;
if (x<=mid)
change_set(k<<1,l,mid,x,c);
else
change_set(k<<1|1,mid+1,r,x,c);
sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
mx[k]=max(mx[k<<1],mx[k<<1|1]);
}
总结
首先，打表找规律是一样好东西。
在遇到什么看似是奇葩数论题的时候，如果推不出来，就打表找规律。
要知道有时候找规律比推式子简单多了。
还有，以后见到一些不怎么好维护的东西，就要联想到类似的方法。
如果操作是不可逆的东西，那就试着暴力搞。
反正怎么搞顶多这么多次，那就暴力呗！