BZOJ1911[APIO2010] 特别行动队

原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1911

特别行动队

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如$(i,i+1,...,i+k)$的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 $x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}$。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 $x:x'= ax^2+bx+cx$，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵，$x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4$。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

输入输出格式

输入格式：

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 $x_1, x_2, …, x_n$，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

输出格式：

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1：

4
-1 10 -20
2 2 3 4

输出样例#1：

9

说明

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

题解

一看就是裸的斜率优化，直接推公式啊：

设$val[i]$为战斗力前缀和，设$(k<j)$且$k$优于$j$，易得：  

$dp[k]+a(val[i]-val[k])^2+b(val[i]-val[k])+c>dp[j]+a(val[i]-val[j])^2+b(val[i]-val[j])+c$
$dp[k]+a(val^2[i]+val^2[k]-2val[i]val[k])+bval[i]-bval[k]+c>dp[j]+a(val^2[i]+val^2[j]-2val[i]val[j])+bval[i]-bval[k]+c$
$dp[k]-dp[j]+a(val^2[k]-val^2[j])+b(val[j]-val[k])>2aval[i] (val[k]-val[j])$
$\frac{dp[k]-dp[j]+a(val^2[k]-val^2[j])+b(val[j]-val[k])}{2a(val[k]-val[j])}>val[i]$

$val[i]$单增，完结撒花~~~

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e6+5;
int n,a,b,c,que[M];
ll val[M],dp[M];
void in()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%d",&val[i]),val[i]+=val[i-1];
}
ll sqr(ll x){return x*x;}
double slop(int k,int j)
{return 1.0*(dp[k]-dp[j]+a*(sqr(val[k])-sqr(val[j]))+b*(val[j]-val[k]))/(2*a*(val[k]-val[j]));}
void ac()
{
    int le=0,ri=0,k;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(le<ri&&slop(que[le],que[le+1])<val[i])le++;
        k=que[le];
        dp[i]=dp[k]+a*sqr(val[i]-val[k])+b*(val[i]-val[k])+c;
        while(le<ri&&slop(que[ri],i)<slop(que[ri-1],que[ri]))ri--;
        que[++ri]=i;
    }
    printf("%lld",dp[n]);
}
int main()
{
    in();ac();
    return 0;
}