[Bzoj1911][Apio2010]特别行动队(斜率优化)

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斜率优化的经典模型，将序列分成若干段，每段有一个权值计算方法，求权值和最大/小

暴力的dp $O(n^{2})$

dp[i]为1-i的序列的最优解。sum[i]为前缀和,$D(i)=ax^{2}+bx+c$

转移为$dp[i]=\max_{j=0}^{i-1}dp[j]+D(sum[i]-sum[j])$

然后叒是经典的推公式：

设$j<k<i$，且i从k转移比i从j转移更优。

$dp[j]+a(sum[i]-sum[j])^{2}-b(sum[i]-sum[j])+c<dp[k]+a(sum[i]-sum[k])^{2}-b(sum[i]-sum[k])+c$

$dp[j]+asum[j]^{2}-bsum[j]-(dp[k]+asum[k]^{2}-bsum[k])>2asum[i](sum[j]-sum[k])$

$\frac{dp[j]+asum[j]^{2}-bsum[j]-(dp[k]+asum[k]^{2}-bsum[k])}{sum[j]-sum[k]}>2asum[i]$

设   $f[j]=dp[j]+sum[j]^{2}-bsum[j]$   $T[j]=sum[j]$

$\frac{f[j]-f[k]}{T[j]-T[k]}>2asum[i]$

将$(T[j],f[j])$,$(T[k],j[k])$看成二维平面上的点。所以当斜率$K_{jk}>2asum[i]$时，从dp[k]转移比dp[j]更优。

所以用优先队列维护最优的点集，就A了。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const  int maxn = 1e6 + 10;
 5 ll sum[maxn], q[maxn], dp[maxn], que[maxn];
 6 int n, a, b, c;
 7 ll f(int j, int k) {
 8     return dp[j] + a * sum[j] * sum[j] - b * sum[j] - (dp[k] + a * sum[k] * sum[k] - b * sum[k]);
 9 }
10 ll T(int j, int k) {
11     return sum[j] - sum[k];
12 }
13 ll D(int x) {
14     return a * x*x + b * x + c;
15 }
16 int main() {
17     scanf("%d", &n);
18     scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
19     for (int i = 1; i <= n; i++)
20         scanf("%lld", &q[i]), sum[i] = sum[i - 1] + q[i];
21     int l = 1, r = 1;
22     que[l] = 0;
23     for (int i = 1; i <= n; i++) {
24         while (l < r&&f(que[l + 1], que[l]) >= 2 * a*sum[i] * T(que[l + 1], que[l]))
25             l++;
26         dp[i] = dp[que[l]] + D(sum[i] - sum[que[l]]);
27         while (l < r && f(que[r], que[r - 1])*T(i, que[r]) < T(que[r], que[r - 1])*f(i, que[r]))
28             r--;
29         que[++r] = i;
30     }
31     printf("%lld\n", dp[n]);
32 }