[APIO2010]特别行动队

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如(i,i+1,...,i+k)(i, i + 1, ..., i + k)(i,i+1,...,i+k)的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 x=xi+xi+1+...+xi+kx = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=xi​+xi+1​+...+xi+k​。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 x′:x′=ax2+bx+cx':x'= ax^2+bx+cx′:x′=ax2+bx+c，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， x1=2,x2=2,x3=3,x4=4x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x1​=2,x2​=2,x3​=3,x4​=4。 经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

首先能看出是dp，然后可以发现这是斜率优化dp中较简单的那一种。

dp方程：f[ i ] = max( f[j] + a*(s[ i ] - s[ j ])^2 + b * (s[ i ] - s[ j ]) + c);

转一下斜率就好了。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1005000
#define ll long long
int n;
ll a,b,c,s[N],f[N];
ll x(int i)
{
    return s[i];
}
ll y(int i)
{
    return f[i]+a*s[i]*s[i]-b*s[i];
}
ll k(int i)
{
    return 2*a*s[i];
}
int q[N],h,t;

int main()
{
    scanf("%d%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&s[i]);
        s[i]+=s[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(h<t&&(y(q[h])-y(q[h+1]))<=k(i)*(x(q[h])-x(q[h+1])))h++;
        f[i] = y(q[h])-k(i)*x(q[h])+a*s[i]*s[i]+b*s[i]+c;
        while(h<t&&(y(i)-y(q[t]))*(x(q[t])-x(q[t-1]))>=(y(q[t])-y(q[t-1]))*(x(i)-x(q[t])))t--;
        q[++t] = i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}