笔记-[APIO2010]特别行动队
\(f_i\) 表示将 \((j+1,j+2,\dots,i)\) 分为一组，已解决 \(i\) 之前的士兵的最小代价。
\(a<0\)。
\[\begin{split} f_i=&\max\{f_j+aX^2+bX+c\}(j<i)\\ =&\max\{f_j+a\left(\sum_{h=j+1}^ix_h\right)^2+b\left(\sum_{h=j+1}^ix_h\right)+c\}\\ \end{split} \]
设 \(s_i=\sum_{h=1}^i x_h\)：
\[\begin{split} f_i=&\max\{f_j+a\left(\sum_{h=j+1}^ix_h\right)^2+b\left(\sum_{h=j+1}^ix_h\right)+c\}\\ =&\max\{f_j+a(s_i-s_j)^2+b(s_i-s_j)+c\}\\ =&\max\{f_j+a(s_i^2-2s_is_j+s_j^2)+b(s_i-s_j)+c\}\\ =&\max\{f_j+as_i^2-2as_is_j+as_j^2+bs_i-bs_j+c\}\\ =&\max\{f_j-2as_is_j+as_j^2-bs_j\}+as_i^2+bs_i+c\\ \end{split} \]
考虑 \(j=k\) 比 \(j=t\) 更优：
\[\begin{split} f_k-2as_is_k+as_k^2-bs_k>&f_t-2as_is_t+as_t^2-bs_t\\ f_k-2as_is_k+as_k^2-bs_k>&f_t-2as_is_t+as_t^2-bs_t\\ (f_k+as_k^2-bs_k)-(f_t+as_t^2-bs_t)>&2as_is_k-2as_is_t\\ \frac{(f_k+as_k^2-bs_k)-(f_t+as_t^2-bs_t)}{s_k-s_t}>&2as_i\\ \end{split} \]
搞定。