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1.前言
若偏微分方程复杂或边界条件不规则时，则方程难以求得解析解，不得不求满足近似程度要求的近似解。变分法是常用的近似方法之一，而且，变分法的原理和应用遍及物理学的各个领域。所谓变分法即为泛函的极值问题。
2.泛函与泛函的极值
2.1 泛函的概念
最速落径问题,如图所示。A、B两点不在同一铅垂线，也不在同一高度。一质点在重力作用下无磨擦沿某曲线从A滑到B，求下滑的最短时间。或沿哪条曲线用时最短。
我们知道，质点下落速率与下落高度间的关系为：
![]()
所以
即T称为y(x)的泛函。
y(x)可取的函数种类，称泛函的定义域,泛函是函数的函数（不指复合函数）。
一般地， C是函数的集合， B是实数（或复数）的集合，若对于C中的任一称元素y(x) ，在B中均有一元素J与之对应，则称J为y(x) 的泛函是函数。
记为：
与通常函数的定义不同，泛函的值决定于函数的取形。如上例中，T的变化决定于y(x)的变化，而非某一个自变量x的值进而某一个函数y的值。而是决定于函数集合C中的函数关系，即决定于函数的取形。
通常，泛函多以积分形式出现，如：
其中，F(x,y,y`)称为泛函的核。
2.2泛函的极值与变分
在泛函的概念下，最速落径问题归结为泛函T[y(x)]的极值问题，所谓变分法,就是求泛函的极值问题。研究泛函极值问题的方法归为两类：直接法与间接法。要讨论间接法，先讨论泛函的变分问题。
设有连续函数y(x)，将其微小变形为y(x)+tn(x)。
其中t是一个小参数，tn(x)称为y(x)的变分，记为δy。
此时，函数y`(x)相应变形为：
导数的变分等于变分的导数,变分微分运算可交换次序。
设中F(x,y,y`)二阶可导，y``连续！如果函数y(x)存在变分δy时，泛函J的变化为：
相对于y、y’作Tayler展开，抵消t的0次项，保留t的1次项，略去t的高阶项。
可得：
上式称泛函 J [y（x）]第一次变分！！！简称变分，记为：
3.泛函极值的必要条件——欧拉方程
设泛函 J [y（x）]的极值问题有解，记为y = y(x)；现在来推导此解y（x）满足的常微分方程。
设y=y（x）有变分δy=tn(x)， 则
可视为t的函数。
表示为：
这样，就把原来的泛函的极值问题转变成这种普通函数的极值问题。
令：
即：
将代入上式，得：
即：
同乘t 得：
泛函取极值的必要条件是其变分为0，或者说，泛函J的极值函数y(x)必须是满足泛函的变分dJ=0的函数类。所以泛函的极值问题称为变分问题。
又因为：
根据分部积分公式可以知道：
在简单变分问题中，端点是固定的：
所以可以得到：
这就是变分学中大名鼎鼎的“欧拉-朗格朗日条件”！！！
欧拉(Euler)方程是泛函有极值的必要条件。
4.经典最速落径问题求解
根据引言一节，最速路径问题用泛函描述为：
解：由于欧拉方程变形为 ：
提取公共部分，可得：
简化为：
代入原方程
求出偏导数得：
通分，并取平方可得
取.y(1+y`*y`)=c1,得：
令代入上式可得：
因此，我们就可以得到摆线得参数方程：
常数c1 、c2由A、B位置决定。
5.参考资料
1.钱伟长. 变分法及有限元[M]. 科学出版社, 1980.
2.郭大钧. 非线性泛函分析-第2版[M]. 山东科学技术出版社, 2001.
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