932. Beautiful Array（python+cpp）

题目：

HintsSubmissionsDiscussSolution For some fixed N, an array A is beautiful if it is a permutation of the integers 1, 2, …, N, such that:
For every i < j, there is no k with i < k < j such that A[k] * 2 = A[i] + A[j].
Given N, return any beautiful array A. (It is guaranteed that one exists.)

Example 1:
Input: 4 
Output: [2,1,4,3] 
Example 2:
Input: 5 
Output: [3,1,2,5,4]  
Note:
1 <= N <= 1000

解释：
尝试使用分治法来做，所以把数组分为left和right两块：
一种方法是分·[1, N / 2] 和[N / 2 + 1, N]，但是在merge的时候会出现问题。
另一种方法是分为奇数块odd和偶数块even，也就是奇数块odd在左边，偶数快even在右边
所以没有k能够使得 A[k] * 2 = odd + even，

Disscuss区的作者遍历了N=5d的所有的排列：
找到了20 个beautiful array ，其中只有4个不满足 odd + even 的模式:
[2, 1, 4, 5, 3]
[3, 1, 2, 5, 4]
[3, 5, 4, 1, 2]
[4, 5, 2, 1, 3]

beautiful array满足的条件是：
不存在 i < k < j,
使得 A[k] * 2 = A[i] + A[j]

对beautiful array 进行下列3种变换，可以得到新的beautiful array

删除
很好证明
加法
若A[k] * 2 != A[i] + A[j],
则(A[k] + x) * 2 = A[k] * 2 + 2x != A[i] + A[j] + 2x = (A[i] + x) + (A[j] + x)
E.g: [1,3,2] + 1 = [2,4,3].
乘法
若A[k] * 2 != A[i] + A[j],
则(A[k] * x) * 2 = A[k] * 2 * x != (A[i] + A[j]) * x = (A[i] * x) + (A[j] * x)

E.g: [1,3,2] * 2 = [2,6,4]

根据上述三个法则，我们可以很方便地构造 beautiful array。
假设我们有一个长度为N的beautiful array A
A1 = A * 2 - 1是一个只包含 1 到N * 2 -1中的奇数的 beautiful array
A2 = A * 2是一个只包含 2 到 N * 2中的偶数的 beautiful array
B = A1 + A2 是一个长度为N * 2的 beautiful array

为什么A1+A2是 beautiful array？
因为，首先A是beautiful array，所以A1和A2都分别是beautiful array，也就是说，在A1和A2的内部，是满足约束条件的，现在就是要考虑有没有一种可能，A[i]在A1中，A[j]在A2中，使得 A[k] * 2 = A[i] + A[j]：
很显然，这种情况是不存在的，因为A[i]在A1中是奇数，A[j]在A2中是偶数，他们俩相加一定是奇数，所以不可能是哪个整数的2倍。

E.g:
A = [2, 1, 4, 5, 3]
A1 = [3, 1, 7, 9, 5]
A2 = [4, 2, 8, 10, 6]
B = A1 + A2 = [3, 1, 7, 9, 5, 4, 2, 8, 10, 6]

然后，分治法需要用递归或者循环来实现。
python代码：

class Solution:
    def beautifulArray(self, N):
        """
        :type N: int
        :rtype: List[int]
        """
        res=[1]
        while len(res)<N:
            res=[2*i-1 for i in res]+[2*i for i in res]
        return [i for i in res if i<=N]

c++代码：

class Solution {
public:
    vector<int> beautifulArray(int N) {
        vector<int> res={1};
        while (res.size()<N)
        {
            vector<int> tmp;
            for (auto i : res)
                if(2*i-1<=N)
                    tmp.push_back(2*i-1);
            for (auto i : res)
                if(2*i<=N)
                    tmp.push_back(2*i);
            res=tmp;
        }
        return res;
    }
};

总结：

932. Beautiful Array（python+cpp）

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