1. 线性判别函数
- 本章介绍的线性判别函数都归属于判别式模型，即对于分类问题，根据判别函数\(g(x)\)的取值进行判断，比如正数归为第一类，负数与零归为第二类。关于判别式模版与生成式模型的区别可以阅读我以前的[博客])(https://www.cnblogs.com/szxspark/p/8426850.html)，最典型的生成式模型是贝叶斯分类器，这个在之前的博客中也有介绍。
在介绍具体算法之前，先了解一下线性判别函数的基本概念。
1.2 线性判别函数基本概念
- 对于线性可分情况，线性判别函数\(g(x)\)与判别界面\(H\)如下图所示：
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- 对于线性不可分情况：
- 线性判别函数的形式化形式为：
\[g ( \mathbf { x } ) = \mathbf { w } ^ { t } \mathbf { x } + w _ { 0 }\]- \(\mathbf { x } = \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { d } \right) ^ { t }\)，是特征矢量，\(d\)是特征维度的大小。
- \(\mathbf { w } = \left( w _ { 1 } , W _ { 2 } , \dots , W _ { d } \right) ^ { t }\)，是权矢量。
- \(W _ { 0 }\) 是偏置。
- 线性判别函数的增广形式（便于书写，便于设计目标函数）：
\[g ( \mathbf { y } ) = \mathbf { a } ^ { t } \mathbf { y }\]- \(\mathbf { y } = \left( 1 , x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { d } \right) ^ { t }\)，是增广的特征矢量，在原始向量前插\(1\)即可。
\(\mathbf { a } = \left( w _ { 0 } , w _ { 1 } , W _ { 2 } \dots , W _ { d } \right) ^ { t }\)，是增广的权矢量。
在学习该增广形式的时候，我曾思考过，既然可以将将线性函数转化为两个向量的点乘，那在深度学习中(以pytorch为例)，设计线性层(nn.Linear)时为什么还要令参数bias=True，直接不需要偏置，在输入向量中拼接一个维度(值为1)岂不是更加方便。答案当然是否定，我仔细思考后发现，如果这么做的话，对于每一个输入对会有一个独立的bias，因为新拼接的“1”值会随着反向传播进行迭代更新（每个输入的更新结果不同），此时bias便失去了意义，不再是与线性函数函数绑定，而是变成了输入的一个特征。
- 两类问题的线性判别准则：
\[g ( \mathbf { x } ) = \mathbf { w } ^ { t } \mathbf { x } + w _ { 0 } \left\{ \begin{array} { l l } { > 0 , } & { \mathbf { x } \in \omega _ { 1 } } \\ { < 0 , } & { \mathbf { x } \in \omega _ { 2 } } \\ { = 0 } & {拒识 } \end{array} \right.\] - 线性分类器的分类界面三维空间可视化：
该界面有几个特点：
1.线性分类界面\(H\)是\(d\)维空间中的一个超平面；
2.分类界面将\(d\)维空间分成两部分，\(R_1\)，\(R_2\)分别属于两个类别；
3.判别函数的权矢量\(w\)是一个垂直于分类界面\(H\)的矢量，其方向指向区域\(R_1\) ；
4.偏置\(w_0\)与原点到分类界面\(H\)的距离\(r_0\)有关：
\[r _ { 0 } = \frac { w _ { 0 } } { \| \mathbf { w } \| }\]
1.3 线性判别函数的学习
- 以下内容全部采用增广形式的写法进行介绍。
- 线性判别函数的学习目的，其实就是想通过\(n\)个训练样本\(\mathbf { y } _ { 1 } , \mathbf { y } _ { 2 } , \dots , \mathbf { y } _ { n }\)，来确定一个判别函数\(g ( \mathbf { y } ) = \mathbf { a } ^ { t } \mathbf { y }\)的权矢量\(a\)。其中n个样本集合来源于两个不同类别。
- 在线性可分的情况下，希望得到的判别函数能够将所有的训练样本正确分类。
- 线性不可分的情况下，判别函数产生错误的概率最小。
- 判别函数的非规范化形式：
\[\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { a } ^ { t } \mathbf { y } _ { i } > 0 , } & { \mathbf { y } _ { i } \in \omega _ { 1 } } \\ { \mathbf { a } ^ { t } \mathbf { y } _ { i } < 0 , } & { \mathbf { y } _ { i } \in \omega _ { 2 } } \end{array} \right.\] 判别函数的规范化i形式：
\[\left\{ \begin{array} { c l } { \mathbf { a } ^ { t } \mathbf { y } _ { i } > 0 , } & { \mathbf { y } _ { i } \in \omega _ { 1 } } \\ { - \mathbf { a } ^ { t } \mathbf { y } _ { i } > 0 , } & { \mathbf { y } _ { i } \in \omega _ { 2 } } \end{array} \right.\]- 在之后的感知器算法于LMSE算法中，均依据规范化的形式进行介绍，规范化后会使得目标函数形式比较简单。
- 规范化是在输入数据上进行，将属于第二个类别的数据乘上\(-1\)即可。
- 需要注意，因为本节内容是在函数的增广形式下进行介绍，因此在规范化之前需要对于每个类别的数据都拼接一个特征“1”。