最短路——迪杰斯特拉算法

1.在图论中经常会碰到最短路问题。最短路顾名思义就是在有向连通图（也就是连通网）中寻找两点之间的最短距离。为了解决这个问题人们提出了很多行之有效的算法，这其中有著名的五大算法：Dijkstra算法，SPFA算法，Floyd算法，Bellman-Ford算法，以及基于启发式搜索的A*算法。我们接下来会学习每一个算法，首先是DJ算法。

2.DJ算法是一种求解单源最短路非负权值的有效方法。基本思想：首先，建立两个集合，以集合中的每一个点作为研究对象。第一个集合我们叫做S，第二个叫做D。初始化的时候，S内放我们的源点，D内放除源点之外的其他点。（what？什么叫源点？源点就是起点呗，这里的源有源头的意思，这个定义在网络流的中会更加贴切，我们这里暂时把它理解为起点）。我们再来看一下我们的问题，我们需要找一个点到另一个点的最短路。所以S内起始只有一个元素，D内有n-1个元素（假设有n个点）。初始化完成以后，我们开始做事情。分为三步：

（1）首先，我们在D中扫描，找出D中的每一个点到源点的距离，如果二者没有直接相连的边，这个距离被设置成INF。所以这里我们就需要一个二维数组保存每两个连通点之间的距离，还要有一个数组，来标记这个点已经被访问过。

（2）扫描之后，找到了距离源点最近的点，将该点加入S中。

（3）重点来了！我们先给出定义，下边将详细讲解这个地方，这也是理解DJ的关键所在。继续执行（1）（2），这个时候，在D中寻找距离第二个点最近的点，并使用第二个点更新距离数组。反复执行，直到D为空集。

我们来理解一下3，上一张

其实第三步是著名的松弛技术：基于三角不等式来的。if : dis[j]>dis]i]+map[s][j],可以将dis[j]更新。我们对着上边的图解释一下：

起始时：A到B,C,D的距离是：10，INF,20.注意我们要寻找的是A到C的最短路径。所以我们的dis数组执行完以后就会被更新成这样的情况：dis[B]=10,dis[C]=INF,dis[D]=20.这个时候，我们将B加入集合S。最最精华的部分来了：现在B加入以后，我们继续更新dis数组，我们发现，A虽然不能直接到C，但是C可以从B来，也就是上边的不等式。我们发现dis[C]>dis[B]+map[B][C],OK,那么我们就更新dis[C],这样就达到了一种松弛的效果。继续做这些操作，每一个点的任务都是用来松弛源点到终点的距离，这样我们通过一种贪心的思想就可以达到最优的效果。下边给出HDU2544最短路裸题的代码：

#include"stdafx.h"
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define N 110
#define MAX 999999
int nodenum, edgenum;
int map[N][N], dis[N];
bool visit[N];
//最短路的DJ算法
int Dijkstra(int src, int des)
{
	int temp, k;
	//初始化visit数组
	for (int i = 0; i < sizeof(visit); i++)
	{
		visit[i] = false;
	}
	//初始化边集
	for (int i = 1; i <= nodenum; ++i)
		dis[i] = (i == src ? 0 : map[src][i]);
	visit[src] = true;
	dis[src] = 0;
	//贪心寻找最短路，并且通过该点松弛其他边
	for (int i = 1; i <= nodenum; ++i)
	{
		temp = MAX;
		for (int j = 1; j <= nodenum; ++j)
			if (!visit[j] && temp > dis[j])
				temp = dis[k = j];
		if (temp == MAX)
			break;
		visit[k] = true;
		for (int j = 1; j <= nodenum; ++j)
			if (!visit[j] && dis[j] > dis[k] + map[k][j])
				dis[j] = dis[k] + map[k][j];
	}
	return dis[des];
}

int main()
{
	int start, end, cost;
	int answer;
	while (~scanf("%d%d", &nodenum, &edgenum) && (nodenum + edgenum))
	{
		for (int i = 1; i <= nodenum; ++i)
			for (int j = 1; j <= nodenum; ++j)
				map[i][j] = MAX;
		for (int i = 1; i <= edgenum; ++i)
		{
			scanf("%d%d%d", &start, &end, &cost);
			if (cost < map[start][end])
				map[start][end] = map[end][start] = cost;
		}
		answer = Dijkstra(1, nodenum);//源点到终点的最短路
		printf("%d\n", answer);
	}
	return 0;
}