1.图中的最短路径求解的算法花样百出，但是最常用的就是那几种很耳熟能详的算法。今天我们来了解一下十分常用的迪杰斯特拉算法。
2.dj是一种求非负权值的单源最短路算法。通俗的讲就是求这样的问题：在图中的两个点s，t并且这个图中没有负的边权，那么求解从s到t的最短的路径权值和是多少。首先说明几个特点，注意dj的使用范围，非负权值的单源最短路。但是虽然我们求的是s到t的最短路，但是求解过程中会把s到图中所有点的最短路都求出来。这是dj的一些特性，为什么会有这样的特性，我们来看一下原理就明白了。
3.dj算法的原理：首先看图
假设我们要求0到4的最短路，那么其实dj是这样运行的，它的基本思想就是贪心和松弛。他首先把点分为两个集合s和t，s代表已经求得的最短路径的点，t代表还未求得最短路的点。初始位置s里面只有源点，也就是0其他节点都在t里。然后会有一个dis数组，保存当前状态下源点到各个节点的最短路，dis初始化的结果就是源点到各个点之间的路径长度，如果有直接的连边，就是这个连边的长度，如果没有就是INF，例如上图中我们可以知道dis[1]=10,dis[4]=100,dis[2]=inf。然后就可以开始工作了。工作的流程是这样的，首先我们从源点出发，找到距离最近的点(贪心)，没错，我们在这个图中找到的就是10，找到之后更新dis对应的值（当然这里的更新是没有意义的，因为是一样的），然后我们松弛这是很重要的，或者说这就是dj的精髓。怎么松弛呢？是这样工作的，我们现在已经有了1点，1被加入s集合中，我们通过1可以到达2，并且路径的长度是50，所以0到达2的路径长度就是60，因为之前0到2是没有直接的路径的，所以我们这个时候就可以把路径更新到60，这样就完成了松弛。当然了，dj并不仅仅是这么运作的，当找到1之后，他会计算发现到2的长度是60，但是到3的长度是30(这里的到指的是源点到其他点)，所以他会选择小的去，所以第二个被加入的节点是3而不是2(这也是一种贪心的策略)。然后这个时候我们依然使用上边的方法，我们发现这个时候可以到达的点有2,4，但是到达4的最短路径是90，到达2的是50(通过3来松弛)，这个时候2倍加入s集合，2被加入s集合之后，我们又可以通过2来松弛4，所以到4的最短路径就是60了。这样所有点被加入集合。最短路算法完成。
4.疑惑的解决：开始的时候我们就提出了两个问题。1.dj是基与非负权值的。2.dj虽然是求两个点之间的最短路，但是会把源点到其他所有点的最短路都求出来。现在看完原理之后我想就很好回答这个问题了，首先为什么是非负权值，因为dj的松弛过程决定的，如果出现负边，那么松弛的时候就会在哪个具有负边的地方循环。其次，虽然是求两点之间的最短路，但是任何一点的加入都有可能会对这两点之间的最短路产生松弛。所以我们需要把所有的点都加进去试一遍。
5.dj的复杂度是n方的，这个与图是怎么存的没有关系。下面给出实现的代码：
/*Dijkstra求单源最短路径 */
#include <iostream>
#include<stack>
#define M 100
#define N 100
using namespace std;
typedef struct node
{
int matrix[N][M]; //邻接矩阵
int n; //顶点数
int e; //边数
}MGraph;
void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源顶点
{
int i,j,k;
bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);
for(i=0;i<g.n;i++) //初始化
{
if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
{
dist[i]=g.matrix[v0][i];
path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
}
else
{
dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大
path[i]=-1;
}
visited[i]=false;
path[v0]=v0;
dist[v0]=0;
}
visited[v0]=true;
for(i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次
{
int min=INT_MAX;
int u;
for(j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点
{
if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
{
min=dist[j];
u=j;
}
}
visited[u]=true;
for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值
{
if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])
{
dist[k]=min+g.matrix[u][k];
path[k]=u;
}
}
}
}
void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点
{
stack<int> s;
int u=v;
while(v!=v0)
{
s.push(v);
v=path[v];
}
s.push(v);
while(!s.empty())
{
cout<<s.top()<<" ";
s.pop();
}
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int n,e; //表示输入的顶点数和边数
while(cin>>n>>e&&e!=0)
{
int i,j;
int s,t,w; //表示存在一条边s->t,权值为w
MGraph g;
int v0;
int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<M;j++)
g.matrix[i][j]=0;
g.n=n;
g.e=e;
for(i=0;i<e;i++)
{
cin>>s>>t>>w;
g.matrix[s][t]=w;
}
cin>>v0; //输入源顶点
DijkstraPath(g,dist,path,v0);
for(i=0;i<n;i++)
{
if(i!=v0)
{
showPath(path,i,v0);
cout<<dist[i]<<endl;
}
}
}
return 0;
}