CF 570E dp递推

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题意：给一个n*m的小写字母地图，找从（1，1）到（n，m）点非升路径，且路径组成的字符串是回文串的路径个数。

思路：

考虑从两端同时走，然后在中间相遇，走的步数是确定的，为n+m-1，

所以只要两边同时走（n+m）/2步就行；

考虑dp递推，只要条件限制好，是可以递推的

设dp[step][x1][y1][x2][y2]为走step步到达p1,p2两点匹配的路径个数。

转移方程就是

dp[step][x1][y1][x2][y2]=dp[step-1][x1][y1-1][x2][y2-1]+dp[step-1][x1][y1-1][x2-1][y2]+

dp[step-1][x1-1][y1][x2-1][y2]+dp[step][x1-1][y1][x2][y2-1];

这样的话空间时间都受不了，有些是没有必要的，比如step可以用滚动数组变成2，然后设一个计数器

step知道，x知道，y就确定，所以没必要用y，这样空间就是5e5，时间是1e7

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mo=1e9+7;
const int N=510;
typedef long long ll;
ll dp[2][N][N];
char s[N][N];

int main(){
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%s", s[i]+1);
    }
    int up;
    if((n+m)&1)
        up=(n+m-1)>>1;
    else
        up=(n+m)>>1;
    int cur=0, nxt=1;
    if(s[1][1]==s[n][m])
        dp[cur][1][n]=1;
    for(int step=2; step<=up; step++){

        for(int i=0; i<=n; i++) for(int j=0; j<=n; j++) dp[nxt][i][j]=0;
        //printf("step: %d\n", step);
        int ll=min(n, step);
        for(int x1=1; x1<=ll; x1++){
            int y1=step-x1+1;
            int hh=max(1, n-step+1);
            for(int x2=n; x2>=hh; x2--){
                int y2= m-(step-(n-x2+1));
                //printf("(%d,%d) (%d,%d)\n", x1, y1, x2, y2);

                if(x1<=x2 && s[x1][y1]==s[x2][y2]){
                    dp[nxt][x1][x2]=dp[cur][x1-1][x2] + dp[cur][x1-1][x2+1] +
                    dp[cur][x1][x2] + dp[cur][x1][x2+1];
                    dp[nxt][x1][x2]%=mo;

                    //printf("%lld %lld %lld %lld\n", dp[cur][x1-1][x2], dp[cur][x1-1][x2+1], dp[cur][x1][x2], dp[cur][x1][x2+1]);

                    //printf("(%d, %d) (%d, %d) %lld\n", x1, y1, x2, y2, dp[nxt][x1][x2]);
                }
            }
        }
        swap(cur, nxt);
    }

    ll ans=0;

    for(int i=1; i<=n; i++){
        if((n+m)&1){
            ans=(ans+dp[cur][i][i+1]+dp[cur][i][i])%mo;
        }
        else{
            ans=(ans+dp[cur][i][i])%mo;
        }
    }
    printf("%I64d\n", ans);

    return 0;
}