CF261E Maxim and Calculator dp

Description

Philips得到了一个计算器，这个计算器有两个整数单元，一开始，第一个单元包含数字1，第二个单元包含数字0。 这个计算器支持一以下两种操作：
1.假设第一个单元的数字为a，第二个单元的数字为b，那么将第二个单元的数字改成b+1。
2.假设第一个单元的数字为a，第二个单元的数字为b，那么将第一个单元的数字改成a*b。
现在Philips想知道，有多少个正整数x(l<=x<=r)满足， 存在一种方式从计算器初始状态开始，操作不超过p步之后使得第一个单元中的数字为x。

Input

共一行，为三个空格隔开的正整数(2<=l<=r<=10^9, 1<=p<=100)

Output

输出仅一行一个整数ans，即为问题所求。

Sample Input

输入1：
2 10 3
输入2：
2 111 100
输入3：
2 111 11

Sample Output

输出1：
1
输出2：
106
输出3：
47

Data Constraint

对于30的数据p<=16。
对于100%的数据2<=l<=r<=10^9, 1<=p<=100。

分析：
因为最多操作$p$步，所$b≤p$，所以$a$不会有大于$p$的约数，那一定不会有大于$p$的质因数。

我们把$[1,p]$范围内的所有小于等于$p$的质因数跑出来，然后dfs出$[1,r]$内可以被表示成小于等于$p$的质因数乘积的数跑出来，然后从小到大排序。

当$p=100，r=10^9$时，这样的数不超过$3*10^6$个，也就是只有这些数能被表示出来。

后面使用dp求步数，设$f[i][j]$表示表示二元组的第一维变为$j$，第二维变为$i$时，操作二的次数(乘操作)，显然有

$$f[i][j]=min(f[i][j/i]+1,f[i-1][j])$$
那么
$$step[j]=\min_{i=1}^{p}(f[i][j]+i)$$

我们发现第二维不能直接用$j$，因为$j$是$10^9$的，所以要把第二维设为是在答案数列中的第$j$位，这样的话，就不能直接用下标表示$j/i$了，但是我们发现，当我们$j$在不断增大的时候，$j/i$也是单调增的，所以我们可以开一个指针，当$j$右移时跟着就好了。

这样开$f$数组会爆空间，考虑滚动掉第二维，这样空间就是$10^6$级了。

时间复杂度是$O(p*n)$的，但是$n$最大可以达到$3*10^6$，还是跑不过。考虑玄学优化一下，我们发现可以改为枚举$k=j/i$，此时如果$k*i$已经大于数列中最大的数，那么就可以break掉了，应该是能过的。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>

const int maxn=3e6+7;

using namespace std;

int l,r,p,cnt,tot;
int not_prime[107],prime[107];
int a[maxn],f[maxn];
bool b[maxn];

void getprime(int n)
{
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            prime[++tot]=i;
        }
        for (int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if (i*prime[j]>n) break;
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

void dfs(int x,int k)
{
    a[++cnt]=k;
    for (int i=x;i<=tot;i++)
    {
        if (prime[i]*(long long)k<=r) dfs(i,k*prime[i]);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&l,&r,&p);
    getprime(p);    
    dfs(1,1);
    sort(a+1,a+cnt+1);      
    for (int i=1;i<=cnt;i++) f[i]=1156161;
    f[1]=0; b[1]=1; 
    int ans=0;
    for (int i=2;i<=p;i++)
    {       
        int j=i;            
        for (int k=1;k<=cnt;k++)
        {
            while ((j<=cnt) && (a[j]!=a[k]*i)) j++;
            if (j>cnt) break;
            if (f[k]+1<f[j]) f[j]=f[k]+1;
            if ((a[j]<l) || (b[j])) continue;
            if (f[j]+i<=p) b[j]=1,ans++;
        }       
    }   
    printf("%d",ans);
}