洛谷P3932 浮游大陆的68号岛

题目描述

有一天小妖精们又在做游戏。这个游戏是这样的。

妖精仓库的储物点可以看做在一个数轴上。每一个储物点会有一些东西，同时他们之间存在距离。

每次他们会选出一个小妖精，然后剩下的人找到区间[l,r]储物点的所有东西，清点完毕之后问她，把这个区间内所有储物点的东西运到另外一个仓库的代价是多少？

比如储物点i有x个东西，要运到储物点j，代价为

$x \times \mathrm{dist}( i , j )$
dist就是仓库间的距离。

当然啦，由于小妖精们不会算很大的数字，因此您的答案需要对19260817取模。

输入格式：

第一行两个数表示n,m
第二行n-1个数，第ii个数表示第ii个储物点与第i+1个储物点的距离

第三行n个数，表示每个储物点的东西个数

之后m行每行三个数x l r

表示查询要把区间[l,r]储物点的物品全部运到储物点x的花费

输出格式：

对于每个询问输出一个数表示答案

说明

对于30%的数据，n,m≤1000
对于另外20%的数据，所有储物点间的距离都为1
对于另外20%的数据，所有储物点的物品数都为1
对于100%的数据 , $n , m \le 200000 ; a_i , b_i <= 2\cdot 10^9$

题目分析

参考了luogu题解某dalao
$sumD[i]$ 记录从 $i$ 到 $1$ 的距离
$sumA[i]$ 是物品数量 $a[i]$ 的前缀和
$sumDA[i]$ 记录 $sumD[i]*a[i]$ 的前缀和

对于每次询问区间我们拆成两个小区间 $[ll,x-1],[x+1,rr]$
以左边这个为例，其运输总费用为
$\sum_{i=ll}^{x-1}(sumD[x]-sumD[i])*a[i]$
$\sum_{i=ll}^{x-1}sumD[x]*a[i]-sumD[i]*a[i]$
$sumD[x]\sum_{i=ll}^{x-1}a[i]-\sum_{i=ll}^{x-1}sumD[i]*a[i]$
$sumD[x]*(sumA[x-1]-sumA[ll-1])-(sumDA[x-1]-sumDA[ll-1])$

对于右边的区间用同样的方法推导发现就是对上面这个答案取个反
$(sumDA[x-1]-sumDA[ll-1])-sumD[x]*(sumA[x-1]-sumA[ll-1])$
也就是说记录三个前缀和就可以 $O(1)$ 查询了

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;
 
lt read()
{
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int mod=19260817;
const int maxn=200010;
int n,m;
lt d[maxn],a[maxn];
lt sumD[maxn],sumA[maxn],sumDA[maxn];

lt qsum(int x,int ll,int rr,int f){
	if(ll>rr) return 0;
	lt res=sumD[x]%mod*(sumA[rr]-sumA[ll-1])%mod-(sumDA[rr]-sumDA[ll-1])%mod;
	return (res*f%mod+mod)%mod;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=2;i<=n;++i) d[i]=read()%mod;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
    	a[i]=read()%mod;
		sumA[i]=(sumA[i-1]+a[i])%mod;
		sumD[i]=(sumD[i-1]+d[i])%mod;
		sumDA[i]=(sumDA[i-1]+a[i]*sumD[i])%mod;
	} 
	
	while(m--)
	{
		int x=read(),ll=read(),rr=read();
		lt ansl=qsum(x,ll,min(rr,x-1),1);
		lt ansr=qsum(x,max(ll,x+1),rr,-1);
		printf("%lld\n",(ansl+ansr)%mod);
	}
	return 0;
}