hdu 1114Piggy-Bank(完全背包)

传送门

https://www.cnblogs.com/violet-acmer/p/9852294.html

参考资料：

　　[1]:https://www.cnblogs.com/jbelial/articles/2116074.html

　　[2]:https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1616

题意：

　　有一个小猪存钱罐，里面有各式各样的硬币，每种硬币有不同的面值和重量。

　　现测量出存钱罐初始的重量(E)和存满钱时的重量(F)，问在这N种硬币中，如何选取，使得选取的硬币的总重量恰好等于(F-E)，且总价值最小。

　　如果可以找到，输出"The minimum amount of money in the piggy-bank is num".(num : 总和最小的面值)

　　如果不能通过组合使得硬币总重量恰好等于(F-E)，则输出"This is impossible."

分析：

　　乍一看，和“01”背包很想，所不同的是，在“01”背包中，第 i 种物品只有两种选择，拿或者不拿，而此题，第 i 种面值的硬币可不止有拿与不拿这两种选择，而是有拿

0,1,2,.....,k个，共(k+1)种选择，其中k满足 k*w[i] <= (F-E)；

　　这种每种物品都有无限件可用的问题，成为“完全背包”问题。

题解：

　　1.完全背包转“01”背包

　　　　思路：将一种物品拆成多件物品。

　　　　考虑到第 i 种物品最多选 (F-E) / w[ i ] 件，于是可以把第 i 种物品转化为 (F-E) / w[ i ] 件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。

　　　　如果开个二维的dp数组，指定不可行，具体为什么，请自行思考？

　　　　提示：假设每种硬币都可拆成 k 个(k 最大可达 10000)，N种硬币则可拆成 N*k 个(N最大为500)，所以最坏的情况是可拆成 N*k = 5e6 个物品。

　　　　比较好用的方法就是使用滚动数组优化空间。

　　　　更高效的转化方法是：把第i种物品拆成重量为 w[i]*(2^k)、价值为 p[i]*(2^k) 的若干件物品，其中k满足 w[i]*(2^k) < (F-E)。

　　　　这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第 i 种物品，总可以表示成若干个 2^k 件物品的和。

　　　　这样把每种硬币拆成 log( (F-E)/w[i]))（此处表示的是以2为底的对数）件物品，是一个很大的改进。

　　2.我们有更优的O(VN)的算法

　　　　详情请看参考资料[1]

　　　　以上思路参考自大神思路%%%%%%%%%%%%%%%

AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 #define INF 0x3f3f3f3f
 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 8 const int maxn=10000+50;
 9 
10 int E,F;
11 int N;
12 int p[550],w[550];
13 int dp[maxn];
14 
15 void Solve()
16 {
17     mem(dp,INF);
18     dp[0]=0;
19     for(int i=1;i <= N;++i)
20     {
21         int k=log(1.0*(F-E)/w[i])/log(2.0);//第 i 种硬币最多选 k 个
22         for(int j=0;j <= k;++j)
23         {
24             int g=(1<<j)*w[i];//第 i 种硬币选 2^j 个的总重量
25             for(int l=F-E;l >= g;--l)
26                 dp[l]=min(dp[l],dp[l-g]+(1<<j)*p[i]);
27         }
28     }
29     if(dp[F-E] != INF)
30         printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[F-E]);
31     else
32         printf("This is impossible.\n");
33 }
34 int main()
35 {
36     int T;
37     scanf("%d",&T);
38     while(T--)
39     {
40         scanf("%d%d",&E,&F);
41         scanf("%d",&N);
42         for(int i=1;i <= N;++i)
43             scanf("%d%d",p+i,w+i);
44         Solve();
45     }
46 }

思路1

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 #define INF 0x3f3f3f3f
 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 8 const int maxn=10000+50;
 9 
10 int E,F;
11 int N;
12 int p[550],w[550];
13 int dp[maxn];
14 
15 void Solve()
16 {
17     mem(dp,INF);
18     dp[0]=0;
19     for(int i=1;i <= N;++i)
20         for(int j=w[i];j <= (F-E);++j)
21             dp[j]=min(dp[j],dp[j-w[i]]+p[i]);
22     if(dp[F-E] != INF)
23         printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[F-E]);
24     else
25         printf("This is impossible.\n");
26 }
27 int main()
28 {
29     int T;
30     scanf("%d",&T);
31     while(T--)
32     {
33         scanf("%d%d",&E,&F);
34         scanf("%d",&N);
35         for(int i=1;i <= N;++i)
36             scanf("%d%d",p+i,w+i);
37         Solve();
38     }
39 }

思路2

hdu 1114Piggy-Bank(完全背包)

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