图论定理证明（1）

版权声明：All rights reserved. https://blog.csdn.net/qq_42814118/article/details/83215019

定理内容

对于任意 $N \ge 2$ 个两两相交的环，存在一条边被所有这些 $N$ 个环覆盖。

证明

定义一个命题映射 $P(N)$ 为 “对于任意 $N$ 个两两都相交的环，存在一条边被所有这些 $N$ 个环覆盖。”其中 $N \ge 2$。

引理1： 一个环或者 $N$ 个两两都相交的环构成一张强连通图。其中 $N \ge 2$ 。

引理2：
1、对于一个强连通图中的两条边 $u,v$，存在一条包含这两条边的路径使得 为起始边， 为终末边；
2、对于一个边数 $\ge 3$ 的强连通图中的三条边 $u,v,w$，存在一条包含这三条边的路径使得 $u$ 为起始边， $v$ 为终末边。

以上两个引理相对都是 trivial 的，所以这里略去证明。

引理3： 若 $P(N)$ 成立， $P(N+1)$也成立。

引理3证明：

设这 $N+1$ 个环分别为 $R(1)、R(2) ... R(N)$，因为 $P(N)$成立，我们可设边 $a$ 为被这 $N$ 个环都覆盖的边。

假设 $P(N+1)$ 不成立，那么。而由于 $R(N+1)$ 要与前 $N$ 个环都相交，必然存在两条边 $u,v$ 满足 $u,v \in R(N+1)$ 且 $u,v$ 属于前 $N$ 个环的并集。
根据引理2我们可以找到一条路径 $D$ 包含 $u,v,a$ 且以 $u$ 为起始边， $v$ 为终末边。

而因为 $u,v \in R(N+1)$ 且 $R(N+1)$ 为强联通图，所以我们可以找到一条路径 $D'$ 以 $v$ 为起始边， $u$ 为终末边。路径 $D'$ 与 $D$ 构成一个环不妨设为 $R$ 。

由于 $R$ 中包含 $R(N+1)$ 的边，所以 $R$ 与 $R(1)、R(2)...R(N)$ 都是相异的，又因为 $a \in R$，所以 $R$ 与 $R(N+1)$ 是相异的。所以此时图中存在 $N+2$ 个环，与题设矛盾。
因此假设不成立，引理3得证。

而我们知道 $P(2)$ 是显然成立的，因此原命题得证。