定理内容
如果函数f(x)满足如下条件：
（1）f(x)在闭区间[a ,b]上连续；
（2）f(x)在开区间(a,b) 内可导；
（3）f(x)在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b) ，
那么在(a,b) 内至少有一点ξ (a<ξ<b)，使得函数f(x) 在该点的导数等于零，即f'(ξ)=0。
几何意义
在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平切线。（图形如下所示）
证明过程
rolle定理证明比较直观，就是最值辅助证明，故不多做解释。
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
（1）若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
（2）若 M>m，则因为 f(a)=f(b) ，使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。（费马引理：可导函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零））
注意：rolle定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。
