写在前面
在前面讲的【Deep learning】循环神经网络RNN中，我们对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。
1.从RNN到LSTM
其中上图是传统RNN结构框架，而下图为LSTM结构框架，对比两图可以发现LSTM比传统RNN要复杂得多。它也是一种特殊的循环体结构，拥有三个“门”结构的特殊网络结构：遗忘门、输入门和输出门。下面就将具体介绍每一种门都是怎么工作的。
2.遗忘门
遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。举个栗子，比如一段文章中先介绍了某地原来是绿水蓝天，但是后来被污染了。于是在看到被污染了之后，循环神经网络就会“忘记”了之前绿水蓝天的状态。这就是“遗忘门”工作内容。
遗忘门子结构如下图所示：
图中输入的有上一序列的隐藏状态h(t−1)和本序列数据x(t)，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出f(t)。由于sigmoid的输出f(t)在[0,1]之间，因此这里的输出f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：
3.输入门
在RNN经历“遗忘门”之后，它还需要从当前的输入来补充最新的记忆，这就需要“输入门”来完成。
输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：
从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为i(t),第二部分使用了tanh激活函数，输出为a(t), 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：
其中Wi,Ui,bi,Wa,Ua,ba,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σ为sigmoid激活函数。
4. Cell状态更新
在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态C(t)。我们来看看从细胞状态C(t−1)如何得到C(t)。如下图所示：
细胞状态C(t)由两部分组成，第一部分是C(t−1)和遗忘门输出f(t)的乘积，第二部分是输入门的i(t)和a(t)的乘积，即：
其中，⊙为Hadamard积，在DNN中也用到过。
5.输出门
有了新的隐藏细胞状态C(t)，我们就可以来看输出门了，子结构如下：
从图中可以看出，隐藏状态h(t)的更新由两部分组成，第一部分是o(t), 它由上一序列的隐藏状态h(t−1)和本序列数据x(t)，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态C(t)和tanh激活函数组成, 即：
6. LSTM前向传播算法
现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态h(t),C(t)，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了Wf,Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo这些参数。
7.LSTM反向传播算法
有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。
在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态h(t)的梯度δ(t)一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态h(t)和C(t)。这里我们定义两个δ，即：
反向传播时只使用了δ(t)C,变量δ(t)h仅为帮助我们在某一层计算用，并没有参与反向传播，这里要注意。如下图所示：
而在最后的序列索引位置τ的δ(τ)h和 δ(τ)C为：
接着我们由δ(t+1)C反向推导δ(t)C。
δ(t)h的梯度由本层的输出梯度误差决定，即：
而δ(t)C的反向梯度误差由前一层δ(t+1)C的梯度误差和本层的从h(t)传回来的梯度误差两部分组成，即：
有了δ(t)h和δ(t)C， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出Wf的梯度计算过程，其他的Uf,bf,Wa,Ua,ba,Wi,Ui,bi,Wo,Uo,bo，V,c的梯度大家只要照搬就可以了。
小结
LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。
一下参考资料可供参考：
循环神经网络(RNN, Recurrent Neural Networks)介绍