最长公共子序列求解

原文地址：http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630

写得很好，故转载存档。

提示：阅读此文前，务必先明确最长公共子序列不一定是原父串的一个连续子序列，子序列不要求连续，就如数列的子列一样.

我对原文做了适当的修改，使得文章更明了易懂，如有不当欢迎指正。

正文：

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：

字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x[0]，x[1]，…，x[m-1]”，序列Y=“y[0]，y[1]，…，y[k-1]”是X的子序列，则存在X的一个严格递增下标序列<i[0]，i[1]，…，i[k-1]>(此序列不一定连续)，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有x[i[j]] = y[j]。例如，对于X=“ABCBDAB”和其子序列Y=“ACDA”，存在X的一个严格递增下标序列i：<0,2,4,5>，使得对所有的j=0，1，2，3，有x[i[j]] = y[j]。

问题分析：

现在我们考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a[0]，a[1]，…，a[m-1]”，B=“b[0]，b[1]，…，b[m-1]”，并且Z=“z[0]，z[1]，…，z[k-1]”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1）如果a[m-1]=b[n-1]，则z[k-1] = a[m-1] = b[n-1]，且“z[0]，z[1]，…，z[k-2]”是“a[0]，a[1]，…，a[m-2]”和“b[0]，b[1]，…，b[n-2]”的一个最长公共子序列；

（2）如果a[m-1] != b[n-1]，同时z[k-1] != a[m-1]，则有“z[0]，z[1]，…，z[k-1]”是“a[0]，a[1]，…，a[m-2]”和“b[0]，b[1]，…，b[n-1]”的一个最长公共子序列；

（3）如果a[m-1] != b[n-1]，同时z[k-1] != b[n-1]，则有“z[0]，z[1]，…，z[k-1]”是“a[0]，a[1]，…，a[m-1]”和“b[0]，b[1]，…，b[n-2]”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有a[m-1] = b[n-1]，则进一步解决一个子问题，找“a[0]，a[1]，…，a[m-2]”和“b[0]，b[1]，…，b[m-2]”的一个最长公共子序列；如果a[m-1] != b[n-1]，则要解决两个子问题，找出“a[0]，a[1]，…，a[m-2]”和“b[0]，b[1]，…，b[n-1]”的一个最长公共子序列和找出“a[0]，a[1]，…，a[m-1]”和“b[0]，b[1]，…，b[n-2]”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

问题求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度（参见下表），b[i][j]记录c[i][j]是通过转化为哪一个子问题求得的，以决定搜索的方向。
由问题分析部分可知，我们应自底向上进行递推计算，那么在计算c[i][j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式：

recursive formula

回溯输出最长公共子序列过程：

flow

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;

    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;

    m = strlen(x);
    n = strlen(y);

    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);

    return 0;
}

最长公共子序列求解

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