3.1 线性模型
线性模型
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f(x)=w1x1+w2x2+...+wdxd+b(3.1)
向量形式
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f(x)=wTx+b(3.3)
为什么是线性模型呢?
- (补充:PRML 3.1)这里x可以是高阶, 重点是w是线性就行了,如果x也是线性那么会给模型带来局限性,此时可以引入基函数
ϕ(x)
f(x)=wTϕ(x)+b(3.2)
优点
3.2 线性回归
线性回归
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给定数据集
D={(x1,y1),(x2,y2),...,(x,,ym)},其中
xi可以是多维的,
yi属于实数集.
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LR试图学一个线性模型去拟合真实值
f(x)=wxi+b 使得
f(xi)≃yi
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离散属性处理:若有“序”,则连续化;否则,转化为 k 维向量
如何确定参数
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度量函数:这里选用均方误差
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E(f;D)=m1i=1∑m(f(xi)−yi)2(3.4)
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令均方误差最小化,有
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(w∗,b∗)=argmin(w,b)i=1∑m(f(xi)−yi)2=argmin(w,b)i=1∑m(yi−wxi−b)2(3.5)
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对
E(w,b)=∑i=1m(yi−wxi−b)2 进行最小二乘参数估计
- 因为3.5式是凸函数,分别对 w 和 b 求导
- 令导数为0,得闭式解
多元线性回归
- 如果用以上参数估计法,涉及矩阵求逆
- 若
XTX 满秩或正定,则
x^∗=(XTX)−1XTy
- 若不满秩,则有多个解,此时需看归纳偏好或引入正则化
线性模型的变化
- 对数线性归回
-
lny=wTx+b(3.6)
- 更一般的,考虑单调可微函数
g(⋅),
g(⋅) 称为联系函数,实质是线性回归后映射到另一个函数空间
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y=g−1(wTx+b)(3.7)
3.3 对数几率回归
极大最后一式等于极小它的负数,因为该式是关于
β高阶可导连续凸函数,所以可以用凸优化理论优化。
总结
线性模型关键是参数是线性的,其中存在两种变化
- 输入可以变换基
- 比如多项式 (
x,x2,x3...xn)
- 这是为了拟合真实数据的变化尺度
- 尺度相当则模型表达会更好
- 输出可以通过联系函数映射到新的空间
- 特别的,当联系函数为 sigmoid function 时,此时的线性回归称为逻辑回归
- 逻辑回归属于判别式模型,采用极大释然进行参数估计,由此引出交叉熵
(后话)参数一多容易过拟合,但参数多能保证模型的表达能力,此时需要引入正则项,可以等于贝叶斯派中引入的先验。
参考
周志华. 机器学习. 3.1/3.2/3.3.
Bishop. Pattern Recognition And Machine Learning. 3.1.
李宏东. 模式分类(译). 2.2贝叶斯决策论.