数据结构——AVL和平衡树【自平衡维护】

一、什么是AVL树及AVL树解决了什么问题？

二分搜索树的不足：如果我们以此添加1、2、3、4、5元素构建一个二分搜索树，那么最终会退化成一个链表。

AVL是最早的可以自平衡的二分搜索树结构，平衡二叉树即：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1。

平衡二叉树的高度和节点数量之间的关系也是O(logn)

将二分搜索树变为平衡二叉树：在二分搜索树的基础上添加 ①标注节点的高度 ②计算平衡因子【左子树高度-右子树高度】 一个树中只要有一处平衡因子的值 >= 2或 <= -2则该树不是平衡二叉树。

获得节点高度的方法： node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));

计算平衡因子的方法：getHeight(node.left) - getHeight(node.right);

AVL树是从二分搜索树升级过来的。所以它满足二分搜索树的基本特征【左子树所有节点都小于其根节点，右子树所有节点都大于其根节点】，AVL树是对于二分搜索树退化成链表的一种解决方案。

二、AVL树如何实现自平衡

加入节点后，打破了平衡性，导致新增节点的祖辈节点深度/平衡因子可能发生变化，于是可以沿着节点向上维护平衡性，由于我们可以使用递归实现，所以沿着节点向上维护平衡性也是一件很简单的事情。

1、自平衡维护——LL右旋转

情况① 插入元素在最终形成不平衡节点的左侧的左侧(LL)——右旋转

在插入节点2之前，该树为一棵平衡二叉树，且满足二分搜索树性质，在插入节点2后发现，节点8的平衡因子变为了2，打破了平衡树的基本条件，同理我们在0、1、2顺序插入构建二叉树的同时也会造成树退化成链表，导致左图中节点12平衡因子变为了2。

因为插入元素在最终形成不平衡节点的左侧的左侧，此时我们就可以进行不平衡的维护了。

右旋转之前：

右旋转之后：

  //add方法中,在计算完不平衡因子后
  if(balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0 )
      //右旋转
      return rightRotate(node);

    //右旋转
    // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //        y                              x
    //       / \                           /   \
    //      x   T4     向右旋转 (y)        z     y
    //     / \       - - - - - - - ->    / \   / \
    //    z   T3                       T1  T2 T3 T4
    //   / \
    // T1   T2
    private Node rightRotate(Node y) {
        Node x = y.left;
        Node T3 = x.right;
        //右旋转
        x.right = y;
        y.left = T3;
        //更新height    T1,T2,T3,T4在更新后仍然为叶子节点,height无需变化,先变化y后变化x
        y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right)) + 1;
        return x;
    }

2、自平衡维护——RR左旋转

情况②插入元素在最终形成不平衡节点的右侧的右侧(RR)——左旋转

旋转之前：

旋转之后：

    //在add方法中,计算出平衡因子之后
    if(balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((node.right)) <= 0)
            //左旋转
        return leftRotate(node);

//左旋转
    // 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //    y                             x
    //  /  \                          /   \
    // T1   x      向左旋转 (y)       y     z
    //     / \   - - - - - - - ->   / \   / \
    //   T2  z                     T1 T2 T3 T4
    //      / \
    //     T3 T4
    private Node leftRotate(Node y) {
        Node x = y.right;
        Node T2 = x.left;
        x.left = y ;
        y.right = T2;
        //更新height
        y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right)) + 1;
        return x;
    }