一、AVL树是什么？
AVL树是一种具有自平衡特性的二叉搜索树
AVL树的名字来源于它的发明者们：G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis。
AVL树虽然是一种自平衡的二叉搜索树，但它并不是唯一的自平衡二叉搜索树。
其他常见的自平衡二叉搜索树，还包括红黑树、Splay树等。
二、AVL树的特点
AVL树要求树中每个节点的左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。
在AVL树中，任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。
这样的树通常被称为平衡树，因为它保证了搜索操作的时间复杂度为O(log n)。
2.1 AVL树的优点
- AVL树能够保证树的平衡，从而保证搜索操作的时间复杂度为O(log n)。
- AVL树的自平衡特性使其在插入、删除等操作中具有较好的性能，时间复杂度为O(log n)。
- AVL树的插入和删除操作的时间复杂度均为 O(log n)，其中 n 是树中节点的数量。
- AVL树通过维护平衡因子和旋转操作，AVL树的平衡性是通过维护一个平衡因子来实现的。
- AVL树可以在插入和删除等操作中保持树的平衡性，具有较好的性能。
2.2 AVL树的缺点
由于AVL树在插入和删除时（创建和维护），
- 需要进行平衡调整
- 需要消耗较多的时间和空间
- 会有一定的开销
因此，在实际应用中，可能会选择其他的平衡二叉搜索树，如红黑树。
三、AVL树的插入操作和删除
3.1AVL树的插入操作
AVL树的插入操作相对简单。
AVL树的创建和插入操作与普通二叉搜索树类似。
AVL树在插入一个新节点后，AVL树可能会失去平衡，AVL树要对树进行旋转以保持平衡。
AVL树可以通过四种旋转操作，调整节点的位置来恢复AVL树的平衡状态。
AVL树的旋转操作包括四种情况：右左旋、左右旋、左左旋和右右旋。
此时，从根节点开始，按照以下步骤进行平衡调整（旋转操作）：
（1）单旋转：
如果当前节点的平衡因子（左子树高度减去右子树高度）为-1或1，进行单旋转操作。
具体来说，如果当前节点的左子树比右子树高，进行右旋操作；反之，进行左旋操作。
（2）双旋转：
如果当前节点的平衡因子为-2或2，进行双旋转操作。
具体来说，如果当前节点的左子树比右子树高2，进行左右旋操作；反之，进行右左旋操作。
3.2 AVL树的删除操作
AVL树的删除操作稍微复杂一些
AVL树的删除操作需要分三种情况进行处理。
AVL树在删除一个节点后，可能需要对树进行旋转以保持平衡。
情况1：删除的节点没有子节点：
直接删除该节点即可。
情况2：删除的节点有一个子节点：
删除该节点，并将其子节点连接到其父节点上。
情况3：删除的节点有两个子节点：
找到该节点的前驱节点（即在其左子树中的最大值）或后继节点（即在其右子树中的最小值），用该节点替换要删除的节点。然后对替换后的节点进行单旋转或双旋转操作，以保持树的平衡性。
此外，如果删除的节点是树的根节点，则需要重新选择新的根节点。