数论 最大公约数 最小公倍数

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#最大公约数
之前，我们学过约数，这次，我们需要找到2个数 $a, b$的最大的公约数，我们设 $d = gcd (a,b)$为 $a,b$的最大公约数

所以有 $d | a$， $d | b$，设 $a = kb + r$，其中k为整数
所以 $r = a - kb$，根据整除的性质，可得 $d | r$
故d也是r的公因数，若 $gcd (b, r) = c$，则 $d <= c$

又有 $c | r$， $c | b$， $a = kb + r$，所以 $c | a$
所以c是a、b的公约数，即 $c <= d$，综上所以 $c = d$

所以 $gcd (a,b) = gcd (b,a \:mod \: b) ，同理也可证= gcd (b \: mod \: a, a)$

###code

#include <iostream>
using namespace std;
int gcd1 (int a, int b) {
    return b ? gcd1(b, a % b) : a;
}
int gcd2 (int a,int b) {
    return a ? gcd2(b % a, a) : b;
}
int main () {
    int m,n;
    cin >> m >> n;
    cout << gcd1 (m,n) << " " << gcd2 (m,n);
}

#最小公倍数
设 $a, b$的最小公倍数为 $L$，最大公因数为 $D$
所以有 $L|a$， $L|b$
且有 $a = Dx$， $b = Dy$(显然有 $x,y$互质)
故满足 $L|D,\:L|x,\:L|y$，所以满足条件的最小的 $L=D \times x \times y = a \div D \times b$

其实这里可以使用唯一分解定理证明
设
$a = p_{1}^{a_1} \times p_{2}^{a_2} \times ... \times p_{n}^{a_n}$
$b = p_{1}^{b_1} \times p_{2}^{b_2} \times ... \times p_{n}^{b_n}$

则明显 $D = gcd(a,b) = p_{1}^{min(a_1,b_1)} \times p_{2}^{min(a_2,b_2)} \times ... \times p_{n}^{min(a_n,b_n)}$

而 $L = lcm(a,b) = p_{1}^{max(a_1,b_1)} \times p_{2}^{max(a_2,b_2)} \times ... \times p_{n}^{max(a_n,b_n)}$

可得 $L=a \div D \times b$