数论初步——gcd（最大公约数）与lcm（最小公倍数）

辗转相除法求gcd

定理： $gcd(a,b) = gcd(b,a\space mod \space b)$

证明：令 $c=gcd(a,b)$，不妨设 $a=mc,b=nc,gcd(m,n)=1$

再设 $a=k\times b+r$

则 $r=mc-knc=(m-kn)\times c$

所以 $c$也是 $r$的因数

所以 $gcd(b,a\space mod \space b)=gcd(b,k)=gcd(nc,(m-kn)c)=c$

由于 $gcd(m,n)=1$

所以 $gcd(n,m-kn)=1$

所以 $gcd(a,b)=gcd(b,a\space mod \space b)=c$

Code

void gcd(int a,int b){
    return (a%b==0)?b:gcd(b,a%b);

时间复杂度

由于每次 $a$至少减少一半，所以最大时间复杂度为 $O(logn)$。

值得一提的是，对于上述函数，其运行最慢的数据为著名的 $fibonacci$数列，原因也很简单，因为每次 $a\space mod\space b$都会使 $a$刚好减少一半多一点。

求lcm

由公式得 $gcd(i,j)*lcm(i,j)=i*j$

所以 $lcm(i,j)=\frac{i*j}{gcd(i,j)}$

公式证明也很简单，从质因子的方向可以方便证明