[牛客网Wannafly挑战赛23E]排序

版权声明：既然是蒟蒻写的文，那么各位大爷就将就着看吧~ https://blog.csdn.net/alan_cty/article/details/82356254

Description

随机一个2*n的排列，将奇数位从小到大排序，求逆序对个数的期望
比如说，4,6,1,5,3,2排序后会变成1,6,3,5,4,2，逆序对个数为8
n<=5e7

Solution

做了好几节数学课的说
根据期望的线性性，我们只需要枚举两个位置，将这两个位置为逆序对的概率相加
偶数位和偶数位之间的显然是n*(n-1)/4，奇数位和奇数位之间的显然为0，我们只需要考虑奇数和偶数
考虑枚举第i个奇数位是j，在i后面的偶数位都是等价的，同理在i前面的偶数位也都是等价的
设Pi,j表示第i个奇数位是j的排列的概率，那么这部分的答案为：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{2n}Pi,j*{(n-i+1)*(j-i)+(i-1)*(n-j+i)\over n}$$
考虑Pi,j，相当于从j-1个比j小的数中选择i-1个放在i前面，从2n-j个比j大的数中选择n-i个放在后面
那么 $$Pi,j={(^{j-1}_{i-1})(^{2n-j}_{n-i})(n!)^2\over {(2n!)^2}}$$
接下来我们来化简式子，比如考虑(n-i+1)(j-i)这一项，将组合数划开：
$$\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(j-i){(j-1)!(2n-j)!\over (j-i)!(i-1)!(n-i)!(n-j+i)!}$$
考虑把(n-i+1)变成(n-i)，额外多出一项，那么式子变成了
$$\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}(n-i)(j-i){(j-1)!(2n-j)!\over (j-i)!(i-1)!(n-i)!(n-j+i)!}$$
$$\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}{(j-1)!(2n-j)!\over (j-i-1)!(i-1)!(n-i-1)!(n-j+i)!}$$
我们尝试把右边再写成组合数的形式
$$\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}(j-1)(2n-j){(j-2)!(2n-j-1)!\over (j-i-1)!(i-1)!(n-i-1)!(n-j+i)!}$$
$$\sum_{j=1}^{2n}\sum_{i=1}^{n}(j-1)(2n-j)(^{j-2}_{i-1})(^{2n-j-1}_{n-i-1})$$
根据范德蒙恒等式，原始式子就变成了
$$\sum_{j=1}^{2n}(j-1)(2n-j)(^{2n-3}_{n-2})$$
组合数可以和前面的 $n!(n-1)!\over {2n!}$约掉
另外三项也可以用相同的方法化成只和j相关的式子*一个组合数
我们最后的式子就变成了 $${1\over {4n-2}}\sum_{j=1}^{2n}(j-1)(2n-j+1)$$
然后运用一些基础的知识可以把式子变成 $$4n^2+2n\over 12$$ !
加上 $n(n-1)\over 4$就变成了 $7n^2-n\over 12$！
也就是说上面这么一大串式子最后可以O(1)出解
是不是很奇妙呢