KMP--学习笔记

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Q：给定两个字符串A、B，求A在B中出现了多少次
这是KMP的经典问题，我们将从这里开始引入KMP算法

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KMP算法の思想

KMP算法分为两步

1.对A进行自我匹配，求出A的nxt数组
其中 $nxt[i]$表示 A中以 $i$结尾的非前缀子串 与 A的前缀的最大匹配长度
即若 $nxt[i]=j$，则 $A[i-j+1$~ $i]=A[1$ ~ $j]$

2.将A与B匹配，求出数组 $f$
其中 $f[i]$表示 B中以 $i$结尾的子串 与 A的前缀的最大匹配长度

煮个栗子

那么该如何快速求出nxt数组呢
假设我们已经知道 $nxt[1]$~ $nxt[6]$，现在求 $nxt[7]$

求 $nxt[7]$得过程实际上就是 求一个最大的 $j$，满足 $A[1$~ $j] = A[i-j$~ $6]$且 $A[j+1]=A[7]$
然后令 $nxt[7]=j+1$

对于这个找 $j$得过程，我们可以按照从大到小的顺序
先找到所有满足第一个条件的 $j$，再判断第二个条件是否成立

对于 $nxt[7]$，满足第一个条件的最大的 $j$显然是 $j=nxt[6]=4$
然后我们判断第二个条件 $A[j+1=5]=A[i=7]$成立，所以 $nxt[7]=5$

在考虑 $nxt[8]$，同样先取最大的满足条件一的 $j=nxt[7]=5$
但这时候发现 $A[j+1=6]!=A[i=8]$，条件二不成立
于是我们再找第二大的满足条件一 $j$，而这个 $j$正好就是 $nxt[nxt[7]]=nxt[5]=3$
但是 $A[j+1=4]!=A[i=8]$，条件二依然不成立
再找第三大的满足条件一 $j$，这个 $j$等于 $nxt[nxt[nxt[7]]]=nxt[3]=1$
很可惜条件二还是不成立
再找第四大的满足条件一 $j=nxt[1]=0$，到这里前面已经没有字符了
所以直接判断是否有 $A[1]=A[i=8]$，这里满足了条件，所以 $nxt[8]=1$

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通过上面的 栗子 我们已经对KMP的思路有了基本了解
在这里再一次用稍形式化的语言描述一次

假设当前已求出 $nxt[1]$~ $nxt[i-1]$
现在需要求一个最大的 $j$，满足 $A[1$~ $j] = A[i-j$~ $i-1]$且 $A[j+1]=A[i]$
令 $nxt[i]=j+1$

首先尝试最大的满足条件一的 $j=nxt[i-1]$，判断条件二是否成立
若成立则 $nxt[i]=j+1$，否则 $j=nxt[j]$，重复上述步骤
当 $j=0$时直接判断是否有 $A[1]=A[i]$，若是则 $nxt[i]=1$，否则等于0

算法的总时间复杂度为 $O(n+m)$

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KMPの代码实现

由于一般情况下读入字符串时第一个字符会储存在第0号位
为了方便运算我们将nxt[]表示的值都-1，但记得实际上表示的长度应该再+1

void qnxt(char* ss,int len)
{
    int j=-1; nxt[0]=-1;
    for(int i=1;i<len;++i)
    {
        while(j!=-1&&ss[i]!=ss[j+1]) j=nxt[j];
        if(ss[i]==ss[j+1]) j++;
        nxt[i]=j;
    }
}

求完 $nxt[]$数组后在考虑 $f[]$数组
由于其定义的基本相同，所以求解方法已基本一致
注意为了运算方便保存在 $f[]$中的值也是减了1的

void KMP(char* a,char* b)
{
    int n=strlen(a),m=strlen(b);
    int j=-1; qnxt(a,n);
    for(int i=0;i<m;++i)
    {
        while(j!=-1&&b[i]!=a[j+1]) j=nxt[j];
        if(b[i]==a[j+1]) j++;
        f[i]=j;
    }	
}

再次提醒，真正的 $nxt[]$与 $f[]$保存的值实际应为

for(int i=0;i<strlen(A);++i)
printf("%d ",nxt[i]+1);

for(int i=0;i<strlen(B);++i)
printf("%d ",f[i]+1);

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KMPの应用

POJ - 3461 Oulipo

现在再次回到开头的问题 (是不是都快忘掉了)
Q：给定两个字符串A、B，求A在B中出现了多少次

A：求出B的 $f[]$数组后
若有 $f[i]=n$，那么A在B中的一个出现位置就是 $B[i-n+1$~ $i]$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long lt;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=2000010;
int Q;
char txt[maxn],pat[maxn];
int nxt[maxn];

void qnxt(char* ss,int len)
{
	int j=-1; nxt[0]=-1;
	for(int i=1;i<len;++i)
	{
		while(j!=-1&&ss[i]!=ss[j+1]) j=nxt[j];
		if(ss[i]==ss[j+1]) ++j;
		nxt[i]=j;
	}
}

int KMP(char* a,char* b)
{
	int res=0;
	int n=strlen(a),m=strlen(b);
	int j=-1; qnxt(a,n);
	for(int i=0;i<m;++i)
	{
		while(j!=-1&&b[i]!=a[j+1]) j=nxt[j];
		if(b[i]==a[j+1]) ++j;
		if(j==n-1) res++;//f[i]=j
	}
	return res;
}

int main()
{
    Q=read();
    while(Q--)
    {
    	scanf("%s%s",&pat,&txt);
    	printf("%d\n",KMP(pat,txt));
	}
}

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POJ - 2752 Seek the Name, Seek the Fame

Q：给定字符串S，求S中既是前缀也是后缀的子串的所有可能长度

A：求出S的nxt数组
令 $j=len$，不断迭代 $j=nxt[j]$直到 $j=0$，遍历到的数即为所求
注意这样得到的顺序时降序的，还需要存入栈中再输出

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long lt;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=1000010;
char ss[maxn];
int nxt[maxn],vis[maxn];
int st[maxn],top;

void qnxt(char* a,int len)
{
    int j=-1; nxt[0]=-1;
    for(int i=1;i<len;++i)
    {
        while(j!=-1&&a[i]!=a[j+1]) j=nxt[j];
        if(a[i]==a[j+1]) j++;
        nxt[i]=j;
    }
}

int main()
{
    
	while(scanf("%s",&ss)!=EOF)
    {
    	int len=strlen(ss); top=0;
		qnxt(ss,len);

        int j=len-1;
		while(j!=-1){
		    st[++top]=j+1;
		    j=nxt[j];
		}
		while(top) printf("%d ",st[top--]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}