BZOJ5298 CQOI2018 交错序列【DP+矩阵快速幂优化】

Description

我们称一个仅由0、1构成的序列为”交错序列”，当且仅当序列中没有相邻的1（可以有相邻的0）。例如，000，001，101，都是交错序列，而110则不是。对于一个长度为n的交错序列，统计其中0和1出现的次数，分别记为x和y。给定参数a、b，定义一个交错序列的特征值为 $x^ay^b$ 。注意这里规定任何整数的0次幂都等于1（包括 $0^0=1$ ）。显然长度为n的交错序列可能有多个。我们想要知道，所有长度为n的交错序列的特征值的和，除以m的余数。(m是一个给定的质数)例如，全部长度为3的交错串为：000、001、010、100、101。当a=1，b=2时，可计算 $3^1*0^2+2^1*1^2+2^1*1^2+2^1*1^2+1^1*2^2=10$

Input

输入文件共一行，包含三个空格分开的整数n，a，b和m。
1≤n≤10000000，0≤a，b≤45，m<100000000

Output

输出文件共一行，为计算结果。

Sample Input

3 1 2 1009

Sample Output

首先我们看到这题，果断想到DP，但是 $x^ay^b$ 形式的答案十分不好维护，所以我们将它进行转化
$\ \ \ \ \sum x^a y^b$
$=\sum x^a (n-x)^b$
$=\sum x^a \sum_{i=0}^b C_b^i n^i (-x)^{b-i}$
$=\sum_{i=0}^b C_b^i n^i (-1)^{b-i} \sum x^{a+b-i}$
现在我们只需要在优秀时间内算出 $\sum x^{a+b-i}$ 就好了,那么我们定义f[i][j][0/1]表示前i位的所有合法方案的0的个数的j次方之和，且第i位是0/1。
那么我们可以得到：
$f[i][j][1]=f[i-1][j][0]$
$f[i][j][0]=\sum_{k-0}^j C_j^k*(f[i-1][k][0]+f[i-1][k][1])$
式子中的 $C_j^k$ 直接由二项式定理计算，然后我们很显然的发现DP方程是可以矩阵优化的。注意矩阵乘法的时候稍稍卡一下常数就好了。
时间 $O((a+b)^3*log(n))$ 空间 $O((a+b)^2)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 200
int read(){
    int ans=0,w=1;
    char c=getchar();
    while(c!='-'&&!isdigit(c))c=getchar();
    if(c=='-')w=-1,c=getchar();
    while(isdigit(c))ans=ans*10+c-'0',c=getchar();
    return ans*w;
}
int n,a,b,Mod;
LL J[N],inv[N];
struct Matrix{
    int n;LL a[N][N];
    Matrix(int n):n(n){
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                a[i][j]=0;
    }
    Matrix operator * (const Matrix &c)const{
        Matrix ans=Matrix(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int k=0;k<n;k++)if(a[i][k])
                for(int j=0;j<n;j++)if(c.a[k][j])
                    ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*c.a[k][j])%Mod;
        return ans; 
    }
    Matrix operator ^ (const int x)const{
        Matrix a=*this,ans=Matrix(n);
        for(int i=0;i<n;i++)ans.a[i][i]=1;
        int b=x;
        while(b){
            if(b&1)ans=ans*a;
            b>>=1;
            a=a*a;
        } 
        return ans;
    }
};
LL C(int n,int m){
    if(n<m)return 0;
    return J[n]*inv[m]%Mod*inv[n-m]%Mod;
}
LL fast_pow(LL a,LL b){
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%Mod;
        b>>=1;
        a=a*a%Mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    n=read();a=read();b=read();Mod=read();
    int MAX=a+b+1;
    J[0]=1;
    for(int i=1;i<=MAX;i++)J[i]=J[i-1]*i%Mod;
    inv[MAX]=fast_pow(J[MAX],Mod-2);
    for(int i=MAX-1;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%Mod;
    Matrix move=Matrix(MAX*2);
    for(int i=0;i<MAX;i++)move.a[i][i+MAX]=1;
    for(int i=0;i<MAX;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            move.a[j][i]=move.a[j+MAX][i]=C(i,j);
    move=move^n;
    LL x=1,ans=0;
    for(int i=0;i<=b;i++,x=x*n%Mod)
        ans=(ans+C(b,i)*x%Mod*(move.a[0][a+b-i]+move.a[0][a+b-i+MAX])%Mod*(((b-i)&1)?(-1):(1)))%Mod;
    printf("%lld",(ans+Mod)%Mod);
    return 0;
}

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