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类别不平衡(class-imbalance)
当不同类别的训练样本数目差别很大，则会对学习过程造成困扰。如有998个反例，但正例只有2个。
从线性分类器的角度讨论，用\(y=w^Tx+b\)对新样本\(x\)进行分类时，事实上是在用预测出的\(y\)值与一个阈值进行比较。如通过在\(y>0.5\)时判别为正例，否则为反例。几率\(\frac{y}{1-y}\)则反映了正例可能性与反例可能性之比值。阈值设为0.5表明分类器认为真实正、反例可能性相同。即
\[if\ \frac{y}{1-y}>1\ then\ is\ position\]
当训练集中正、反例数目不同时，令\(m^{+}\)表示正例数目，\(m^-\)表示反例数目。假设训练集是真实样本总体的无偏采样，分类器决策规则为：
\[if\ \frac{y}{1-y}>\frac{m^+}{m^-}\ then\ is\ position\]
需对其预测值进行再缩放(rescaling)：
\[\frac{y'}{1-y'}=\frac{y}{1-y}\times \frac{m^-}{m^+}\]
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Softmax回归模型
是logistic回归模型在多分类问题伤的推广。
适用场景：MNIST手写数字分类。
对于给定的测试输入\(x\)，用假设函数针对每一个类别\(j\)估算出概率值\(p(y=j|x)\)，即估计\(x\)的每一种分类结果出现的概率。因此，假设函数为：
\[h_\theta(x^{(i)})=\begin{bmatrix} p(y^{(i)}=1|x^{(i)};\theta)\\ p(y^{(i)}=2|x^{(i)};\theta)\\ \vdots \\ p(y^{(i)}=k|x^{(i)};\theta) \end{bmatrix}=\frac{1}{\sum_{j=1}^k}\begin{bmatrix} e^{\theta_1^Tx^{(i)}}\\ e^{\theta_2^Tx^{(i)}}\\ \vdots\\ e^{\theta_k^Tx^{(i)}} \end{bmatrix}\]
在Softmax回归中，将\(x\)分类为类别\(j\)的概率为：
\[p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta)=\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^ke^{\theta_l^Tx^{(i)}}}\]
其代价函数为：
\[J(\theta)=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^m\sum_{j=0}^kI\{y^{(i)}=j\}log\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^ke^{\theta_l^Tx^{(i)}}}]\]
其中，\(I\{\cdot\}\)是示性函数。
对于\(J(\theta)\)的最小化问题，使用迭代的优化算法(梯度下降法、L-BFGS)。经求导，其梯度为：
\[\triangledown _{\theta_j}J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[x^{(i)}(I\{y^{(i)}=j\}-p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta))]\]
其中，\(\triangledown _{\theta_j}J(\theta)\)本身是一个向量，它的第\(l\)个元素\(\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}\)是\(J(\theta)\)对\(\theta_j\)的第\(l\)个分量的偏导数。
每一次迭代，需进行如下的更新：
\[\theta_j:=\theta_j-\alpha \bigtriangledown _{\theta_j}J(\theta),\ \ \ j=1,\cdots,k\]
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引入权重衰减(weight decay)项
衰减项会惩罚过大的参数值，代价函数为：
\[J(\theta)=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^m\sum_{j=0}^kI\{y^{(i)}=j\}log\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^ke^{\theta_l^Tx^{(i)}}}]+\frac{\lambda}{2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=0}^n\theta_{ij}^2\]
其中，\(\lambda>0\)，此时代价函数变成严格的凸函数。使用优化算法，得到新函数\(J(\theta)\)的导数：
\[\triangledown _{\theta_j}J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[x^{(i)}(I\{y^{(i)}=j\}-p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta))]+\lambda \theta_j\]
通过最小化\(J(\theta)\)，就能实现一个可用Softmax回归模型。
Softmax回归 VS. k个二元分类器
如开发一个音乐分类的应用，需对\(k\)种类型的音乐进行识别。根据类别之间是否互斥来进行选择。
- 如四个类别的音乐分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐、爵士乐。
此时，每个训练样本只会被打上一个标签，应使用类别数\(k=4\)的Softmax回归。
- 如四个类别的音乐分别为：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲。
此时，类别之间不是互斥的。使用4个二分类的logistic回归分类更为合适。